A função
é diferenciável? Justifique com detalhes.
se
e
.
Passo 1
Beleza, vamos analisar o problema que você enviou. A gente precisa descobrir se a função
é diferenciável no ponto
. A função
está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos verificar se
é contínua em
.
Passo 3
Para verificar a continuidade, precisamos ver se o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, que é 0.
Vamos calcular o limite:
Passo 4
Vamos calcular esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o resultado é sempre o mesmo.
Caminho 1: Ao longo do eixo
(
):
Então,
Caminho 2: Ao longo da linha
:
Então,
Passo 5
Vemos que os limites ao longo de diferentes caminhos são diferentes (1 e 0). Isso significa que o limite geral não existe.
Passo 6
Como o limite de
quando
não existe, a função
não é contínua em
.
Passo 7
Já que a função não é contínua no ponto
, ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então se não é contínua, definitivamente não é diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável no ponto
porque não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Resolva:
c)
c)
Uma função
é chamada homogênea de
-ésimo grau, se
satisfaz a equação
para todo
, onde
é um inteiro positivo e
tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas. Mostre que, se
é homogênea de grau
, então
Resolva:
b)
b)