A função f é diferenciável? Justifique com detalhes. f(x, y) = (x^2 - y^2) / (x^2 + y^2) se (x, y) != (0, 0) e f(0,0) = 0.

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você enviou. A gente precisa descobrir se a função é diferenciável no ponto . A função está definida da seguinte forma:
Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser diferenciável em um ponto, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos verificar se é contínua em .

Passo 3

Para verificar a continuidade, precisamos ver se o limite de quando se aproxima de é igual a , que é 0.
Vamos calcular o limite:

Passo 4

Vamos calcular esse limite ao longo de diferentes caminhos para ver se o resultado é sempre o mesmo.
Caminho 1: Ao longo do eixo ( ):
Então,
Caminho 2: Ao longo da linha :
Então,

Passo 5

Vemos que os limites ao longo de diferentes caminhos são diferentes (1 e 0). Isso significa que o limite geral não existe.

Passo 6

Como o limite de quando não existe, a função não é contínua em .

Passo 7

Já que a função não é contínua no ponto , ela não pode ser diferenciável nesse ponto. A diferenciabilidade implica continuidade, então se não é contínua, definitivamente não é diferenciável.

Resposta

A função não é diferenciável no ponto porque não é contínua nesse ponto.

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