Para uma função contínua f:[a, b] -> [0,+∞), a ≥ 0, escreva a fórmula do volume V do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de f em torno do eixo O y. Depois encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de f(x) = x^2 em torno do eixo O y para x in [1, 3].

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o volume de um sólido de revolução. Mais especificamente, é o gráfico de uma função contínua , onde , que está sendo girado ao redor do eixo . Para resolver isso, vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a fórmula geral para o volume desse sólido de revolução usando o método das cascas cilíndricas. Nesse método, consideramos uma pequena fatia vertical da função entre e . Quando essa fatia gira em torno do eixo , forma uma casca cilíndrica.
A fórmula para o volume é dada por:
Aqui, é a circunferência da casca e é a altura.

Passo 3

Agora, vamos aplicar essa fórmula específica para a função no intervalo . Substituindo na fórmula, temos:
Vamos calcular essa integral:
Então,

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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