Para uma função contínua
, escreva a fórmula do volume
do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
. Depois encontre o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do gráfico de
em torno do eixo
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre calcular o volume de um sólido de revolução. Mais especificamente, é o gráfico de uma função contínua
, onde
, que está sendo girado ao redor do eixo
. Para resolver isso, vamos precisar usar o método das cascas cilíndricas, que é uma técnica de cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a fórmula geral para o volume
desse sólido de revolução usando o método das cascas cilíndricas. Nesse método, consideramos uma pequena fatia vertical da função
entre
e
. Quando essa fatia gira em torno do eixo
, forma uma casca cilíndrica.
A fórmula para o volume
é dada por:
Aqui,
é a circunferência da casca e
é a altura.
Passo 3
Agora, vamos aplicar essa fórmula específica para a função
no intervalo
. Substituindo na fórmula, temos:
Vamos calcular essa integral:
Então,
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.