Resolva as integrais abaixo: integral0^4 4(1+2 x)^2 d x

Passo 1

Vamos resolver a integral definida integral0^4 4(1+2x)^2 , dx. Esse exercício faz parte do estudo de cálculo integral, especificamente utilizando a técnica de substituição para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que simplify o integrando. Observando o denominador (1 + 2x)^2, podemos fazer a substituição:
u = 1 + 2x

Passo 3

Agora, calculamos a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = 2 Rightarrow dx = du2

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral 4u^2 cdot du2 = 2 integral 1u^2 , du

Passo 5

Agora, integramos 2 integral u^-2 , du. A integral de u^-2 é -u^-1, então:
2 cdot (-u^-1) + C = -2u + C

Passo 6

Voltando para a variável original, substituímos u = 1 + 2x:
-21 + 2x
Como a integral é definida de 0 a 4, avaliamos nos limites:
[-21 + 2x]0^4 = (-29) - (-21) = 169

Resposta

169

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