Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto 1,4.
f) f(x,y) = sen(5x^2) + 4xy^3 + y - x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, aplicando as regras básicas de derivação para funções com duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem: e . Essas derivadas nos mostram como a função muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de em relação a , que denotamos por :
Calculando cada termo separadamente:
  • (usando a regra da cadeia)
  • (derivada de é 1)
  • (já que é constante em relação a )
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , denotada por :
Calculando cada termo:
  • (já que é constante em relação a )
  • (usando a regra do poder)
Então, simplificando:

Passo 5

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular seus valores no ponto .
Para :
E para :

Passo 6

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem: , e .
Primeiro, calculamos , que é a derivada de em relação a :
Derivando cada termo:
  • (já que é constante em relação a )
Então:

Passo 7

Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Derivando cada termo:
  • (já que é constante em relação a )
Então:

Passo 8

Por fim, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Derivando cada termo:
Então:

Passo 9

Agora vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem no ponto :
Para :
Para :
E para :

Resposta

As derivadas parciais da função no ponto são:
  • Primeira ordem:
  • Segunda ordem:

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