Nas funções abaixo, determine as derivadas parciais de primeira e de segunda ordem no ponto
.
f)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que determinar as derivadas parciais de primeira e segunda ordem da função no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de derivadas parciais, aplicando as regras básicas de derivação para funções com duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem:
e
. Essas derivadas nos mostram como a função
muda quando a gente varia apenas uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, que denotamos por
:
Calculando cada termo separadamente:
- (usando a regra da cadeia)
-
(derivada de é 1) -
(já que é constante em relação a ) -
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, denotada por
:
Calculando cada termo:
- (já que
é constante em relação a ) -
(usando a regra do poder) -
-
Então, simplificando:
Passo 5
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, vamos calcular seus valores no ponto
.
Para
:
E para
:
Passo 6
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem:
,
e
.
Primeiro, calculamos
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando cada termo:
-
-
(já que é constante em relação a ) -
Então:
Passo 7
Agora, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando cada termo:
-
(já que é constante em relação a ) -
-
Então:
Passo 8
Por fim, vamos calcular
, que é a derivada de
em relação a
:
Derivando cada termo:
Então:
Passo 9
Agora vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem no ponto
:
Para
:
Para
:
E para
:
Resposta
As derivadas parciais da função no ponto
são:
-
Primeira ordem:
-
Segunda ordem: