Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Passo 1
Então, a gente tem uma integral definida de
a
da função
. Basicamente, a gente quer calcular a área sob o gráfico dessa função entre esses limites. Para resolver isso, a gente vai precisar saber um pouco sobre cálculo integral, especificamente como integrar funções que envolvem raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na função
. Essa função é a soma de duas partes: uma constante
e a raiz quadrada de
. A parte
lembra a equação de um círculo, já que
descreve um círculo de raio 3. Então, essa parte da função nos dá a parte superior semicircular com raio 3.
Passo 3
Agora, vamos entender o gráfico dessa função no intervalo de
a
. A constante
simplesmente eleva todo o gráfico da semicircunferência em 1 unidade no eixo
. Então, o gráfico de
começa em
com
e vai até
, onde
.
Passo 4
Para calcular a integral
, podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é bem fácil, e a segunda é uma integral que reconhecemos como sendo a área de um quarto de círculo (porque estamos apenas considerando de
a
).
Passo 5
Vamos calcular cada parte:
Para essa segunda integral, sabemos que
representa a função de um semicírculo com raio 3. A área de um semicírculo completo seria
, mas como estamos indo de
a
, que é um quarto de círculo, a área é
.
Então:
Resposta
Somando as duas partes, temos:
Portanto, a integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Se
é uma função contínua e não negativa em
, então a integral
é exatamente a área da região abaixo do gráfico de
e acima do eixo
. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
Calcule as integrais definidas abaixo.
Calcule as integrais definidas abaixo.