Se f é uma função contínua e não negativa em [a, b], então a integral integrala^b f(x) d x é exatamente a área da região abaixo do gráfico de f e acima do eixo O x. Em cada um dos itens abaixo, faça o gráfico da função no intervalo em que ocorre a integração para, em seguida, calcular essa integral.
integral0^3(1+raiz9-x^2) d x

Passo 1

Então, a gente tem uma integral definida de a da função . Basicamente, a gente quer calcular a área sob o gráfico dessa função entre esses limites. Para resolver isso, a gente vai precisar saber um pouco sobre cálculo integral, especificamente como integrar funções que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na função . Essa função é a soma de duas partes: uma constante e a raiz quadrada de . A parte lembra a equação de um círculo, já que descreve um círculo de raio 3. Então, essa parte da função nos dá a parte superior semicircular com raio 3.

Passo 3

Agora, vamos entender o gráfico dessa função no intervalo de a . A constante simplesmente eleva todo o gráfico da semicircunferência em 1 unidade no eixo . Então, o gráfico de começa em com e vai até , onde .

Passo 4

Para calcular a integral integral0^3 1 , dx + integral0^3 raiz9 - x^2 , dx , podemos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é bem fácil, e a segunda é uma integral que reconhecemos como sendo a área de um quarto de círculo (porque estamos apenas considerando de a ).

Passo 5

Vamos calcular cada parte:
  1. integral0^3 raiz9 - x^2 , dx = 14 pi (3)^2 = 94 pi
Para essa segunda integral, sabemos que representa a função de um semicírculo com raio 3. A área de um semicírculo completo seria , mas como estamos indo de a , que é um quarto de círculo, a área é .
Então:

Resposta

Somando as duas partes, temos:
3 + 94 pi
Portanto, a integral é igual a .

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