Seja
uma função
vezes diferenciável tal que
é continua em
para
. Suponha
par,
, para
, e
, então
é um mínimo local para
. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem
para
com
.
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
que é diferenciável
vezes. Queremos mostrar que se todas as derivadas de
até a ordem
avaliadas em um ponto
são iguais a zero, e a
-ésima derivada em
é positiva, então
é um mínimo local para
. Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Taylor de ordem
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de Taylor. A fórmula de Taylor de ordem
para uma função
em torno de um ponto
é dada por:
onde
é o termo de erro.
Passo 3
No nosso caso, o ponto
é
. Além disso, sabemos que todas as derivadas de
até a ordem
em
são zero. Ou seja:
Passo 4
Substituindo essas informações na fórmula de Taylor, temos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos analisar o comportamento de
perto de
. Como
é par e
, o termo
é sempre positivo, exceto quando
, onde é zero.
Passo 6
O termo de erro
tende a zero mais rapidamente do que
quando
se aproxima de
. Isso significa que, ao nos aproximarmos de
, o comportamento principal de
é controlado pelo termo
.
Passo 7
Como
é par e
, para valores de
próximos a
, temos que
. Isso indica que
é, de fato, o menor valor da função nessa vizinhança de
.
Resposta
Portanto,
é um mínimo local para
.
Exercícios relacionados
Seja
uma função diferenciável, mostre que:
é convexa se, e somente se,
é monótona crescente no
; Dica: Usando a convexidade, tome
e a terna
e faça
. Depois tome a terna
e faça
. Conclua que
. Para a volta use o teorema do valor médio.
Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
é duas vezes diferenciável no
, então
é convexa se, e somente se,
para todo
. Dica: Lembre que se
é monótona crescente então
.
Seja
uma função diferenciável, mostre que: Se
então
é monótona estritamente crescente no
, em particular existe uma função inversa
;
Uma função
é convexa se,
para todo
e
. Mostre que a condição de convexidade é equivalente a
para quaisquer
. Dica: Tome
e
. Note que, neste caso,
.