Seja f: [a, b] -> R uma função n vezes diferenciável tal que f^(j) é continua em [a, b] para 0 <= j <= n - 1. Suponha n par, f^(j)(x0) = 0, x0 in (a, b), para 0 <= j <= n - 1, e f^(n)(x0) > 0, então x é um mínimo local para f. Dica: use a fórmula de Taylor de ordem n para f com alpha = x0.

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida no intervalo que é diferenciável vezes. Queremos mostrar que se todas as derivadas de até a ordem avaliadas em um ponto são iguais a zero, e a -ésima derivada em é positiva, então é um mínimo local para . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Taylor de ordem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de Taylor. A fórmula de Taylor de ordem para uma função em torno de um ponto é dada por:
onde é o termo de erro.

Passo 3

No nosso caso, o ponto é . Além disso, sabemos que todas as derivadas de até a ordem em são zero. Ou seja:

Passo 4

Substituindo essas informações na fórmula de Taylor, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de perto de . Como é par e , o termo é sempre positivo, exceto quando , onde é zero.

Passo 6

O termo de erro tende a zero mais rapidamente do que quando se aproxima de . Isso significa que, ao nos aproximarmos de , o comportamento principal de é controlado pelo termo .

Passo 7

Como é par e , para valores de próximos a , temos que . Isso indica que é, de fato, o menor valor da função nessa vizinhança de .

Resposta

Portanto, é um mínimo local para .

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