Seja uma função vezes diferenciável tal que é continua em para . Suponha par, , para , e , então é um mínimo local para . Dica: use a fórmula de Taylor de ordem para com .

Passo 1

Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida no intervalo que é diferenciável vezes. Queremos mostrar que se todas as derivadas de até a ordem avaliadas em um ponto são iguais a zero, e a -ésima derivada em é positiva, então é um mínimo local para . Para resolver isso, vamos usar a fórmula de Taylor de ordem .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a fórmula de Taylor. A fórmula de Taylor de ordem para uma função em torno de um ponto é dada por:
onde é o termo de erro.

Passo 3

No nosso caso, o ponto é . Além disso, sabemos que todas as derivadas de até a ordem em são zero. Ou seja:

Passo 4

Substituindo essas informações na fórmula de Taylor, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos analisar o comportamento de perto de . Como é par e , o termo é sempre positivo, exceto quando , onde é zero.

Passo 6

O termo de erro tende a zero mais rapidamente do que quando se aproxima de . Isso significa que, ao nos aproximarmos de , o comportamento principal de é controlado pelo termo .

Passo 7

Como é par e , para valores de próximos a , temos que . Isso indica que é, de fato, o menor valor da função nessa vizinhança de .

Resposta

Portanto, é um mínimo local para .

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Seja uma função diferenciável, mostre que: é convexa se, e somente se, é monótona crescente no ; Dica: Usando a convexidade, tome e a terna e faça . Depois tome a terna e faça . Conclua que . Para a volta use o teorema do valor médio.
Seja uma função diferenciável, mostre que: Se é duas vezes diferenciável no , então é convexa se, e somente se, para todo . Dica: Lembre que se é monótona crescente então .
Seja uma função diferenciável, mostre que: Se então é monótona estritamente crescente no , em particular existe uma função inversa ;
Uma função é convexa se, para todo e . Mostre que a condição de convexidade é equivalente a para quaisquer . Dica: Tome e . Note que, neste caso, .