A função de demanda de um produto é dada por p = 44 - 2q. Determine o preço praticado para que a receita seja máxima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de demanda de um produto, que é dada por . Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o preço que maximiza a receita desse produto. Para isso, a gente vai precisar entender como a receita está relacionada com a demanda e usar algumas noções de matemática básica para encontrar esse preço ideal.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é receita. Receita é o total que a empresa ganha com a venda de um produto. Ela é calculada multiplicando-se o preço ( ) pela quantidade vendida ( ). Então, a fórmula da receita ( ) é:

Passo 3

A gente já sabe que a função de demanda é . Isso significa que o preço diminui conforme a quantidade vendida aumenta. Vamos substituir essa expressão na fórmula da receita:

Passo 4

Agora, vamos multiplicar os termos para simplificar a expressão da receita:
Isso é uma função quadrática na forma , onde , e . Como o coeficiente de é negativo, sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto máximo.

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada do vértice é dada por:
Substituindo os valores de e :

Passo 6

Agora que sabemos que maximiza a receita, vamos encontrar o preço correspondente substituindo esse valor na função de demanda:

Resposta

Então, o preço praticado para que a receita seja máxima é R$ 22.

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