A função de demanda de um produto é dada por
. Determine o preço praticado para que a receita seja máxima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a função de demanda de um produto, que é dada por
. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o preço que maximiza a receita desse produto. Para isso, a gente vai precisar entender como a receita está relacionada com a demanda e usar algumas noções de matemática básica para encontrar esse preço ideal.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é receita. Receita é o total que a empresa ganha com a venda de um produto. Ela é calculada multiplicando-se o preço (
) pela quantidade vendida (
). Então, a fórmula da receita (
) é:
Passo 3
A gente já sabe que a função de demanda é
. Isso significa que o preço diminui conforme a quantidade vendida aumenta. Vamos substituir essa expressão na fórmula da receita:
Passo 4
Agora, vamos multiplicar os termos para simplificar a expressão da receita:
Isso é uma função quadrática na forma
, onde
,
e
. Como o coeficiente de
é negativo, sabemos que o gráfico dessa função é uma parábola que abre para baixo, o que significa que ela tem um ponto máximo.
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza a receita, usamos a fórmula do vértice da parábola. A coordenada
do vértice é dada por:
Substituindo os valores de
e
:
Passo 6
Agora que sabemos que
maximiza a receita, vamos encontrar o preço correspondente substituindo esse valor na função de demanda:
Resposta
Então, o preço praticado para que a receita seja máxima é R$ 22.
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. Calcule:
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