A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma integral imprópria e calcular seu valor. A integral é:
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque o denominador
se aproxima de zero quando
se aproxima de 9, o que pode causar problemas na avaliação da integral. Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando:
- O intervalo de integração é infinito.
- A função integranda se torna infinita em algum ponto dentro do intervalo de integração.
No nosso caso, o intervalo de
a
é finito, mas a função
se aproxima de infinito quando
se aproxima de
, porque temos uma divisão por zero. Então, essa integral é imprópria por causa do comportamento da função no limite superior.
Passo 3
Para resolver a integral imprópria, precisamos reescrevê-la como um limite. Assim, substituímos o ponto problemático (x=9) por uma variável que se aproxima desse valor. Vamos chamar esse ponto de
se aproximando de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular a integral definida de
a
:
Para integrar essa função, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar
, então
, ou seja,
. Substituindo na integral:
Passo 5
Integrando
, temos:
Desfazendo a substituição
, obtemos:
Passo 6
Agora, voltamos à nossa integral definida de
a
:
Simplificando:
Passo 7
Aplicamos o limite quando
se aproxima de
:
Resposta
O valor da integral é
.
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A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante: