A seguir todas as integrais são impróprias e convergem. Explique em cada caso por que a integral é imprópria e avalie cada integrante:
integral0^9 d xraiz9-x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar uma integral imprópria e calcular seu valor. A integral é:
integral0^9 dxraiz9 - x
Aqui, estamos lidando com integrais impróprias porque o denominador raiz9 - x se aproxima de zero quando x se aproxima de 9, o que pode causar problemas na avaliação da integral. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que essa integral é imprópria. Uma integral é chamada de imprópria quando:
  1. O intervalo de integração é infinito.
  2. A função integranda se torna infinita em algum ponto dentro do intervalo de integração.
No nosso caso, o intervalo de 0 a 9 é finito, mas a função 1raiz9 - x se aproxima de infinito quando x se aproxima de 9, porque temos uma divisão por zero. Então, essa integral é imprópria por causa do comportamento da função no limite superior.

Passo 3

Para resolver a integral imprópria, precisamos reescrevê-la como um limite. Assim, substituímos o ponto problemático (x=9) por uma variável que se aproxima desse valor. Vamos chamar esse ponto de b se aproximando de 9:
integral0^9 dxraiz9 - x = limb to 9^- integral0^b dxraiz9 - x

Passo 4

Agora, vamos calcular a integral definida de 0 a b:
integral dxraiz9 - x
Para integrar essa função, podemos fazer uma substituição simples. Vamos deixar u = 9 - x, então du = -dx, ou seja, dx = -du. Substituindo na integral:
integral -duraizu = -integral u^-1/2 du

Passo 5

Integrando u^-1/2, temos:
- cdot ( u^1/21/2 ) + C = -2raizu + C
Desfazendo a substituição u = 9 - x, obtemos:
-2raiz9 - x + C

Passo 6

Agora, voltamos à nossa integral definida de 0 a b:
integral0^b dxraiz9 - x = [ -2raiz9 - x ]0^b = -2raiz9 - b + 2raiz9 - 0
Simplificando:
-2raiz9 - b + 6

Passo 7

Aplicamos o limite quando b se aproxima de 9:
limb to 9^- ( -2raiz9 - b + 6 ) = -2cdot 0 + 6 = 6

Resposta

O valor da integral é 6.

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