Uma função diferenciável
tem no ponto
derivada direcional na direção do vetor
igual a 4 e na direção do vetor
igual a 2 . Determine o valor de
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável
no ponto
. Sabemos as derivadas direcionais nessa direção do vetor
que é igual a 4 e na direção do vetor
que é igual a 2. Nosso objetivo é encontrar o gradiente de
nesse ponto, ou seja,
. Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional e como ela se relaciona com o gradiente.
Passo 2
A derivada direcional de uma função
na direção de um vetor
é dada por:
onde
é o vetor unitário na direção de
. Isso significa que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor unitário na direção escolhida.
Passo 3
Vamos começar com a direção do vetor
. Primeiro, normalizamos esse vetor para obter o vetor unitário:
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Portanto, sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos para a direção do vetor
. Primeiro, normalizamos esse vetor:
Aplicando a fórmula da derivada direcional:
Multiplicando ambos os lados por
para simplificar:
Já sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Agora, resolvemos para
:
Resposta
O gradiente de
no ponto
é:
Exercícios relacionados
Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
Se
onde
e
: Encontre as expressões de
e
em função de
e
;
Se
e
, encontre
e
.
Seja
. Encontre as direções
e os valores de
para os quais:
é mínimo