Uma função diferenciável tem no ponto derivada direcional na direção do vetor igual a 4 e na direção do vetor igual a 2 . Determine o valor de .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função diferenciável no ponto . Sabemos as derivadas direcionais nessa direção do vetor que é igual a 4 e na direção do vetor que é igual a 2. Nosso objetivo é encontrar o gradiente de nesse ponto, ou seja, . Para resolver isso, vamos usar o conceito de derivada direcional e como ela se relaciona com o gradiente.

Passo 2

A derivada direcional de uma função na direção de um vetor é dada por:
á
onde á é o vetor unitário na direção de . Isso significa que a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de e o vetor unitário na direção escolhida.

Passo 3

Vamos começar com a direção do vetor . Primeiro, normalizamos esse vetor para obter o vetor unitário:
Agora, aplicamos a fórmula da derivada direcional:
Portanto, sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos para a direção do vetor . Primeiro, normalizamos esse vetor:
Aplicando a fórmula da derivada direcional:
Multiplicando ambos os lados por para simplificar:
Já sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Agora, resolvemos para :

Resposta

O gradiente de no ponto é:

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