(2 pontos) Seja f(x, y) = sen(x + 2y). Calcule a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor unitário (1/raiz(2), 1/raiz(2)).
a) -3 / raiz(2)
b) -1 / raiz(2)
c) 0
d) 3 / raiz(2)
e) 5 / raiz(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor unitário . Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais da função e do vetor direção.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional em um ponto é dada pela soma das derivadas parciais multiplicadas pelas componentes do vetor direção. Ou seja:
Onde e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as componentes do vetor unitário.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
  • Derivada parcial em relação a :
  • Derivada parcial em relação a :

Passo 4

Agora, avaliamos essas derivadas no ponto :

Passo 5

O vetor direção dado é . Então, e .

Passo 6

Aplicando na fórmula da derivada direcional:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção do vetor dado é . Logo, a resposta correta é a alternativa d) .

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