(2 pontos) Seja
. Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
a)
b)
c) 0
d)
e)
.
a)
b)
c) 0
d)
e)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor unitário
. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais. Para resolver, vamos precisar das derivadas parciais da função e do vetor direção.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional
em um ponto é dada pela soma das derivadas parciais multiplicadas pelas componentes do vetor direção. Ou seja:
Onde
e
são as derivadas parciais de
em relação a
e
, respectivamente, e
e
são as componentes do vetor unitário.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
- Derivada parcial em relação a
:
- Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, avaliamos essas derivadas no ponto
:
Passo 5
O vetor direção dado é
. Então,
e
.
Passo 6
Aplicando na fórmula da derivada direcional:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor dado é
. Logo, a resposta correta é a alternativa d)
.
Exercícios relacionados
(2 pontos) Considere a função
definida implicitamente por
. Calcule
quando
.
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
a) -5
b) -3
c) -1
d) 1
e) 3 .
Função diferenciável que não é de classe
: Considere a função
Mostre que:
as derivadas parciais não são contínuas em
.
as derivadas parciais
(2 pontos) Considere a função
. a) verifique que
; b) calcule o gradiente de
em
; c) encontre a equação da reta tangente à curva
no ponto
.
(2 pontos) Calcule o valor máximo e o valor mínimo de
sujeito à restrição
.