Uma função diferenciável tem, no ponto , derivada direcional igual a 3 na direção e igual a -1 na direção . Calcule (Ex. 6, pg. 271)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável e queremos descobrir o vetor gradiente no ponto . A gente sabe também as derivadas direcionais de em duas direções diferentes:
  1. Na direção de , a derivada direcional é 3.
  2. Na direção de , a derivada direcional é -1.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais e vetor gradiente.

Passo 2

Primeiro, lembra que a derivada direcional de na direção de um vetor é dada por:
Onde:
  • é o vetor gradiente de .
  • é o vetor unitário na direção de .
  • O ponto representa o produto escalar.
Então, cada informação que temos nos dá uma equação envolvendo .

Passo 3

Vamos começar normalizando os vetores das direções dadas para obter os vetores unitários.
Para :
Para :

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da derivada direcional:
Para a primeira direção:
Para a segunda direção:

Passo 5

Agora temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .
Primeiro, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para igualar os coeficientes de :
Somando as duas equações:

Passo 6

Agora que temos , substituímos na primeira equação original para encontrar :

Resposta

Portanto, o vetor gradiente de no ponto é:

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Seja a função definida por:
Calcular e e
Determine:
Calcule
Suponha que para todo . Se é uma função par, mostre que .
  • Henri Poincaré