Uma função diferenciável
tem, no ponto
, derivada direcional igual a 3 na direção
e igual a -1 na direção
. Calcule (Ex. 6, pg. 271)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função diferenciável
e queremos descobrir o vetor gradiente
no ponto
. A gente sabe também as derivadas direcionais de
em duas direções diferentes:
- Na direção de
, a derivada direcional é 3. - Na direção de
, a derivada direcional é -1.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas direcionais e vetor gradiente.
Passo 2
Primeiro, lembra que a derivada direcional de
na direção de um vetor
é dada por:
Onde:
-
é o vetor gradiente de . -
é o vetor unitário na direção de . - O ponto
representa o produto escalar.
Então, cada informação que temos nos dá uma equação envolvendo
.
Passo 3
Vamos começar normalizando os vetores das direções dadas para obter os vetores unitários.
Para
:
Para
:
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da derivada direcional:
Para a primeira direção:
Para a segunda direção:
Passo 5
Agora temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Primeiro, podemos multiplicar a primeira equação por 3 e a segunda por 4 para igualar os coeficientes de
:
Somando as duas equações:
Passo 6
Agora que temos
, substituímos na primeira equação original para encontrar
:
Resposta
Portanto, o vetor gradiente de
no ponto
é:
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Seja
a função definida por:
Calcular
e
e
Determine:
Calcule
Suponha que
para todo
. Se
é uma função par, mostre que
.
- Henri Poincaré