Seja f a função definida por:
f(x)=l x^2-1x-1, se x<1 raizx^2+3, se x >= 1
Calcular lim x 1^- f(x) e lim x 1^+ f(x) e lim x 1 f(x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite da função quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ), além do limite geral em . A função está definida de forma diferente para e para . Para resolver isso, vamos analisar cada caso separadamente usando os conceitos de limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o limite quando x^2 - 1x - 1 = (x - 1)(x + 1)x - 1 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, (x - 1)(x + 1)x - 1 = x + 1 . Nessa região, usamos a expressão limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x + 1) = 1 + 1 = 2 .
Perceba que o numerador pode ser fatorado como . Assim, temos:
Podemos simplificar cancelando o :
Agora, o limite fica mais fácil:

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 1^+ f(x) = raiz1^2 + 3 = raiz4 = 2 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Nessa região, usamos a expressão .
Para encontrar o limite, simplesmente substituímos por 1:

Passo 4

Por último, para determinar o limite geral limx to 1^- f(x) = 2 e limx to 1^+ f(x) = 2 , precisamos verificar se os limites pela esquerda e pela direita são iguais.
Como vimos:
Como os dois limites laterais são iguais, o limite geral também existe e é igual a 2.

Resposta

limx to 1 f(x) = 2

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