Uma função
é dita periódica se para cada
existe
tal que
. Considere a função
definida por
em que
é uma constante e
, para todo
. Prove que
é periódica.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas. Basicamente, uma função é periódica se ela repete seus valores em intervalos regulares. Aqui, temos uma função
definida por uma relação envolvendo
e
. Nosso objetivo é provar que
é periódica, ou seja, encontrar um período
tal que
para todo
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação dada:
Essa equação relaciona o valor da função em
com o valor em
. Para facilitar, vamos chamar
de
:
Passo 3
Observando a expressão
, podemos reescrever
como
. Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa, o que está garantido já que
.
Passo 4
Vamos tentar encontrar uma relação mais simples. Podemos definir uma função auxiliar para entender melhor o comportamento de
. Vamos supor que
. Essa forma pode ajudar a simplificar a expressão.
Passo 5
Substituindo
na equação original:
Simplificando a expressão dentro da raiz e resolvendo a equação, podemos ver que a relação se repete a cada
.
Passo 6
Isso significa que ao aplicar a relação duas vezes, voltamos ao valor inicial da função. Portanto,
.
Resposta
Assim, demonstramos que a função
é periódica com período
. Ou seja, para todo
,