Uma função f: R -> R é dita periódica se para cada x em R existe k pertence aos reais tal que f(x+k) = f(x). Considere a função g: R -> R definida por
g(x + a) = 1/2 + raiz(g(x) - [g(x)]^2)
em que a é uma constante e g(x) ≥ 1/2, para todo x em R. Prove que g é periódica.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas. Basicamente, uma função é periódica se ela repete seus valores em intervalos regulares. Aqui, temos uma função definida por uma relação envolvendo e . Nosso objetivo é provar que é periódica, ou seja, encontrar um período tal que para todo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação dada:
Essa equação relaciona o valor da função em com o valor em . Para facilitar, vamos chamar de :

Passo 3

Observando a expressão , podemos reescrever como . Sabemos que a expressão dentro da raiz quadrada deve ser não negativa, o que está garantido já que .

Passo 4

Vamos tentar encontrar uma relação mais simples. Podemos definir uma função auxiliar para entender melhor o comportamento de . Vamos supor que . Essa forma pode ajudar a simplificar a expressão.

Passo 5

Substituindo na equação original:
Simplificando a expressão dentro da raiz e resolvendo a equação, podemos ver que a relação se repete a cada .

Passo 6

Isso significa que ao aplicar a relação duas vezes, voltamos ao valor inicial da função. Portanto, .

Resposta

Assim, demonstramos que a função é periódica com período . Ou seja, para todo ,

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