Uma função f de variável real satisfaz a condição f(x+1) = f(x) + f(1), qualquer que seja o valor da variável x. Sabendo-se que f(2) = 1, calcule o valor de f(5)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função que depende de um número real . A condição dada é para qualquer valor de . Além disso, sabemos que . Nosso objetivo é encontrar o valor de .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de funções lineares e propriedades de progressões aritméticas. Precisamos entender como a função se comporta quando aumentamos em 1 unidade, e usar essa informação para avançar passo a passo até chegar em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição . Isso significa que se você aumentar o argumento da função em 1, o valor da função aumenta exatamente em . Essa característica é típica de funções lineares, onde a diferença entre valores consecutivos é constante.
Então, se sabemos , podemos usar essa relação para encontrar , e assim por diante.

Passo 3

Vamos começar encontrando . Usando a condição:
Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos encontrar usando a mesma relação:
Substituindo da etapa anterior:

Passo 5

Continuando para encontrar :
Substituindo da etapa anterior:

Passo 6

Agora, precisamos descobrir o valor de . Lembrando que sabemos , e podemos usar a condição novamente:
Sabemos que , então:

Passo 7

Agora que sabemos que , podemos substituir esse valor na expressão que encontramos para :

Resposta

O valor de é .

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