Uma função real de variável real
é tal que
e
para todo
. Calcule o valor de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema nos fala sobre uma função real
de variável real que satisfaz duas condições:
-
-
para todo
Nosso objetivo é encontrar o valor de
. Para resolver isso, vamos precisar entender funções recursivas e, mais especificamente, a função Gama que possui uma relação de recorrência semelhante à dada.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar a segunda condição:
. Isso significa que o valor da função em
é igual a
vezes o valor da função em
. Esse tipo de relação é típica de funções recursivas, onde o valor em um ponto depende do valor em outro.
Passo 3
Conhecendo um pouco sobre matemática avançada, essa relação de recorrência se assemelha muito à definição da função Gama (
), que é uma generalização do fatorial para números reais. A função Gama é definida por:
E sabemos que
, que é exatamente o valor dado para
. Portanto, podemos concluir que
é a função Gama:
Passo 4
Agora que identificamos
, precisamos calcular
. Para isso, vamos usar a relação de recorrência da função Gama para simplificar o cálculo. Sabemos que:
E continuando:
E mais uma vez:
Passo 5
Agora, substituindo de volta:
Resposta
Portanto, o valor de
é: