Uma função real de variável real é tal que e para todo . Calcule o valor de

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema nos fala sobre uma função real de variável real que satisfaz duas condições:
  1. para todo
Nosso objetivo é encontrar o valor de . Para resolver isso, vamos precisar entender funções recursivas e, mais especificamente, a função Gama que possui uma relação de recorrência semelhante à dada.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar a segunda condição: . Isso significa que o valor da função em é igual a vezes o valor da função em . Esse tipo de relação é típica de funções recursivas, onde o valor em um ponto depende do valor em outro.

Passo 3

Conhecendo um pouco sobre matemática avançada, essa relação de recorrência se assemelha muito à definição da função Gama ( ), que é uma generalização do fatorial para números reais. A função Gama é definida por:
E sabemos que , que é exatamente o valor dado para . Portanto, podemos concluir que é a função Gama:

Passo 4

Agora que identificamos , precisamos calcular . Para isso, vamos usar a relação de recorrência da função Gama para simplificar o cálculo. Sabemos que:
E continuando:
E mais uma vez:

Passo 5

Agora, substituindo de volta:

Resposta

Portanto, o valor de é:

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Uma função é dita periódica se para cada existe tal que . Considere a função definida por
em que é uma constante e , para todo . Prove que é periódica.
A função é tal que , para todo e . Calcule o valor de .
Uma função de variável real satisfaz a condição , qualquer que seja o valor da variável . Sabendo-se que , calcule o valor de
Considere a função real , para a qual . Determine o valor de .