Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
(b) Conclua do item acima que
(b) Conclua do item acima que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre funções ímpares. Uma função
é ímpar se para todo
no intervalo
, vale que
. Além disso, sabemos que
é contínua nesse intervalo. Para resolver essa parte, precisamos entender como a simetria de funções ímpares afeta a integral delas em intervalos simétricos em torno de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a integral de uma função representa a área sob a curva dessa função. Para funções ímpares, as áreas à esquerda e à direita do eixo y são simétricas, mas com sinais opostos. Isso significa que o que está à esquerda do eixo y vai “cancelar” o que está à direita.
Passo 3
Matematicamente, podemos dividir a integral de
a
em duas partes: de
a
e de
a
. Vamos escrever isso:
Passo 4
Agora, fazemos uma substituição na primeira integral: deixe
. Quando
varia de
a
,
varia de
a
. A derivada
, então
. Substituindo:
Passo 5
Sabemos que
é ímpar, então
. Substituindo isso na integral:
Passo 6
Voltando à expressão original da integral:
Aqui, temos uma integral negativa somada com a mesma integral positiva.
Passo 7
Quando subtraímos a mesma coisa de si, o resultado é zero:
Resposta
Exercícios relacionados
Resolver os exercícios ímpares de 7 a 35 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Encontre a derivada da função:
(11)
(11)
Resolver os exercícios 1, 3 e 5 do livro de Cálculo volume 1, 6a edição de James Stewart da seção 3.4, página 188. Escreva a função composta na forma
. Identifique a função de dentro
e a de fora
. Então, encontre a derivada
.
(1)
(1)
Uma função
é ímpar se
para todo
. Supondo que
é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
© Interprete geometricamente o resultado do item (b).
Determine a derivada das funções dada.