(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério do Termo Geral. Caso seja inconclusivo, use outro teste.
sumn=1^infty 1n^2+3

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar a série infinita:
sumn=1^infty 1n^2+3
Usaremos o Critério do Termo Geral para determinar se essa série converge ou diverge. Se esse critério não nos der uma resposta clara, usaremos outro teste.

Passo 2

O Critério do Termo Geral diz que, para uma série limn to infty 1n^2+3 , se o limite do termo geral quando tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral:

Passo 3

Calculando o limite:
limn to infty 1n^2+3 = 0
Como o limite é zero, o Critério do Termo Geral não nos dá informação suficiente. Isso significa que a série pode convergir ou divergir, e precisamos usar outro teste para determinar isso.

Passo 4

Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste compara a série em questão com uma série conhecida para determinar a convergência ou divergência.
Sabemos que a série:
sumn=1^infty 1n^2
é uma série p com , que converge porque .

Passo 5

Comparamos os termos das duas séries:
0 < 1n^2+3 < 1n^2
Como é menor que e a série converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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