(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério do Termo Geral. Caso seja inconclusivo, use outro teste.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que analisar a série infinita:
Usaremos o Critério do Termo Geral para determinar se essa série converge ou diverge. Se esse critério não nos der uma resposta clara, usaremos outro teste.
Passo 2
O Critério do Termo Geral diz que, para uma série
, se o limite do termo geral
quando
tende ao infinito não for zero, então a série diverge.
Vamos calcular o limite do termo geral:
Passo 3
Calculando o limite:
Como o limite é zero, o Critério do Termo Geral não nos dá informação suficiente. Isso significa que a série pode convergir ou divergir, e precisamos usar outro teste para determinar isso.
Passo 4
Vamos usar o Teste da Comparação. Esse teste compara a série em questão com uma série conhecida para determinar a convergência ou divergência.
Sabemos que a série:
é uma série p com
, que converge porque
.
Passo 5
Comparamos os termos das duas séries:
Como
é menor que
e a série
converge, pelo Teste da Comparação, a série original também converge.
Resposta
A série
converge.