(3,0 pontos) Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelo parabolóide e pelos três planos coordenados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais duplas. A questão pede para calcular o volume do sólido limitado pelo paraboloide e pelos três planos coordenados. Isso envolve entender como configurar a integral dupla para encontrar o volume entre essas superfícies.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide abre para cima e está deslocado 9 unidades para baixo no eixo z. Os planos coordenados são , e .

Passo 3

Queremos encontrar a região onde está entre o paraboloide e o plano . Então, a altura do sólido em qualquer ponto será .

Passo 4

Agora, vamos encontrar os limites de integração. No plano , temos , ou seja, . Isso é um círculo de raio 3 no plano xy. Como estamos usando os três planos coordenados, estamos na primeira região (primeiro quadrante).

Passo 5

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares, e . A região de integração será de a e a (primeiro quadrante).

Passo 6

A integral dupla para o volume será:
Aqui, é o fator de Jacobiano nas coordenadas polares.

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 8

Agora, integramos em relação a :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério do Termo Geral. Caso seja inconclusivo, use outro teste.
Uma função é ímpar se para todo . Supondo que é contínua e ímpar, resolva os itens abaixo:
(a) Use a mudança de variáveis para concluir que
(2,0 pontos) Analise a série a seguir usando o Critério (Teste) da Comparação.
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).