(3,0 pontos) Usando integral dupla, calcular o volume do sólido delimitado pelo parabolóide
e pelos três planos coordenados.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo usando integrais duplas. A questão pede para calcular o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelos três planos coordenados. Isso envolve entender como configurar a integral dupla para encontrar o volume entre essas superfícies.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as superfícies que delimitam o sólido. O paraboloide
abre para cima e está deslocado 9 unidades para baixo no eixo z. Os planos coordenados são
,
e
.
Passo 3
Queremos encontrar a região onde
está entre o paraboloide e o plano
. Então, a altura do sólido em qualquer ponto
será
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os limites de integração. No plano
, temos
, ou seja,
. Isso é um círculo de raio 3 no plano xy. Como estamos usando os três planos coordenados, estamos na primeira região (primeiro quadrante).
Passo 5
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares. Em coordenadas polares,
e
. A região de integração será de
a
e
a
(primeiro quadrante).
Passo 6
A integral dupla para o volume será:
Aqui,
é o fator de Jacobiano nas coordenadas polares.
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, integramos em relação a
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
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