g(x) = (x^2 + 1)^3 (x^2 + 2)^6

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me deu a função . Nosso objetivo aqui é encontrar a derivada dessa função, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar algumas regras de derivação, especificamente a Regra do Produto e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a Regra do Produto. Essa regra é usada quando queremos derivar o produto de duas funções. Se temos duas funções e , a derivada do produto delas é:
No nosso caso, podemos considerar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar as derivadas de e , ou seja, e . Aqui entra a Regra da Cadeia, que é útil quando temos funções compostas. Se temos uma função , a derivada é:
Vamos aplicar isso para e .

Passo 4

Vamos derivar :
Agora, vamos derivar :

Passo 5

Com as derivadas de e em mãos, vamos aplicar a Regra do Produto para encontrar :

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão fatorando os termos comuns:
Simplificando o que está dentro dos colchetes:
Podemos fatorar 6 desse resultado:
Substituindo de volta:

Resposta

A derivada de é:

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