lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2-y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite:
lim (x, y) (0,0) x^4-y^4x^2-y^2
Aqui, estamos trabalhando com limites de funções de duas variáveis, especificamente quando se aproxima de . Para resolver isso, vamos precisar aplicar algumas técnicas de álgebra para simplificar a expressão e facilitar o cálculo do limite.

Passo 2

Primeiro, vamos observar o numerador e o denominador da fração:
Numerador:
Denominador:
Percebemos que tanto o numerador quanto o denominador são diferenças de potências. Uma técnica útil aqui é fatorar essas diferenças para simplificar a expressão.

Passo 3

Vamos fatorar o denominador x^2 - y^2 = (x - y)(x + y) . A diferença de quadrados pode ser fatorada assim:
x^4 - y^4 = (x^2)^2 - (y^2)^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)
Agora, vamos fatorar o numerador . Notamos que pode ser visto como uma diferença de quadrados também:

Passo 4

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^4-y^4x^2-y^2 = (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2 - y^2
Podemos simplificar cancelando (x^2 - y^2)(x^2 + y^2)x^2 - y^2 = x^2 + y^2 no numerador e no denominador:

Passo 5

Agora, a expressão simplificada é lim (x, y) (0,0) (x^2 + y^2) = 0^2 + 0^2 = 0 . Para encontrar o limite quando se aproxima de , substituímos e por 0:

Resposta

O limite é .

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