Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(d)
(d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
. Para isso, vamos usar conceitos de limites em cálculo, especialmente analisando o comportamento da função próximo desse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que significa que a função está indefinida em
. Isso indica que podemos ter um comportamento de tendência ao infinito ou menos infinito, ou ainda que o limite não existe.
Passo 3
Para entender melhor o comportamento do limite, vamos analisar o denominador e o numerador separadamente quando
se aproxima de -1.
-
Numerador:Substituindo
: O numerador tende a -1. -
Denominador:Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:Então, o denominador tende a
, mas precisamos entender de qual lado está se aproximando.
Passo 4
Vamos analisar o denominador
quando
se aproxima de -1:
Mas queremos saber como se comporta
para valores de
próximos de -1. Se
é ligeiramente maior que -1 (por exemplo, -0,9), então:
Se
é ligeiramente menor que -1 (por exemplo, -1,1), então:
Como estamos elevando ao quadrado no denominador, o resultado será sempre positivo, independentemente de
estar acima ou abaixo de -1.
Passo 5
Agora, juntando as análises:
- O numerador tende a -1.
- O denominador tende a 0 positivo.
Então, temos:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Se o
para alguma constante real
, prove que
.
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(f)
(f)
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)
(i)
Resolva os itens a seguir.
(b) Explique por que sen
.
(b) Explique por que