Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o limite da função quando se aproxima de . Para isso, vamos usar conceitos de limites em cálculo, especialmente analisando o comportamento da função próximo desse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que o denominador se torna zero, o que significa que a função está indefinida em . Isso indica que podemos ter um comportamento de tendência ao infinito ou menos infinito, ou ainda que o limite não existe.

Passo 3

Para entender melhor o comportamento do limite, vamos analisar o denominador e o numerador separadamente quando se aproxima de -1.
  • Numerador:
    Substituindo :
    O numerador tende a -1.
  • Denominador:
    Vamos simplificar a expressão dentro dos parênteses:
    Então, o denominador tende a , mas precisamos entender de qual lado está se aproximando.

Passo 4

Vamos analisar o denominador quando se aproxima de -1:
Mas queremos saber como se comporta para valores de próximos de -1. Se é ligeiramente maior que -1 (por exemplo, -0,9), então:
Se é ligeiramente menor que -1 (por exemplo, -1,1), então:
Como estamos elevando ao quadrado no denominador, o resultado será sempre positivo, independentemente de estar acima ou abaixo de -1.

Passo 5

Agora, juntando as análises:
  • O numerador tende a -1.
  • O denominador tende a 0 positivo.
Então, temos:
ú

Resposta

O limite é .

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Se o para alguma constante real , prove que .
Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(f)
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)
Resolva os itens a seguir.
(b) Explique por que sen .