Resolva os itens a seguir.
(b) Explique por que
sen
.
(b) Explique por que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que o limite de quando
se aproxima de 0 não é igual ao produto dos limites individuais, ou seja, . Isso envolve conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o limite . Sabemos que está sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de
. Então, também estará sempre entre -1 e 1 para qualquer
.
Passo 3
Agora, consideramos que
está se aproximando de 0. Multiplicando
por algo que está entre -1 e 1, o resultado também vai se aproximar de 0. Isso porque
está diminuindo para zero, e está sendo multiplicado por um valor limitado.
Passo 4
Então, podemos concluir que:
Isso porque
está “puxando” o produto para zero, apesar de oscilar entre -1 e 1.
Passo 5
Agora, vamos analisar os limites individuais:
E:
Aqui temos um problema. À medida que
se aproxima de 0,
cresce sem limite, fazendo com que oscile cada vez mais rapidamente entre -1 e 1. Portanto, esse limite não existe, pois não há um valor único para o qual converge.
Passo 6
Como um dos limites individuais não existe, não podemos simplesmente multiplicar os limites para encontrar o limite do produto. A regra que permite multiplicar limites só vale quando ambos os limites existem e são finitos.
Resposta
Por isso, é igual a 0, mas não existe. Ou seja, os dois limites não são iguais porque um dos limites individuais não existe.
Exercícios relacionados
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)
(i)
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(d)
(d)
Seja
definida em
e suponha que exista
tal que
, para todo
. Mostre que
.
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(b)
(b)