Resolva os itens a seguir.
(b) Explique por que sen .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente explicar por que o limite de quando se aproxima de 0 não é igual ao produto dos limites individuais, ou seja, . Isso envolve conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite . Sabemos que está sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de . Então, também estará sempre entre -1 e 1 para qualquer .

Passo 3

Agora, consideramos que está se aproximando de 0. Multiplicando por algo que está entre -1 e 1, o resultado também vai se aproximar de 0. Isso porque está diminuindo para zero, e está sendo multiplicado por um valor limitado.

Passo 4

Então, podemos concluir que:
Isso porque está “puxando” o produto para zero, apesar de oscilar entre -1 e 1.

Passo 5

Agora, vamos analisar os limites individuais:
E:
Aqui temos um problema. À medida que se aproxima de 0, cresce sem limite, fazendo com que oscile cada vez mais rapidamente entre -1 e 1. Portanto, esse limite não existe, pois não há um valor único para o qual converge.

Passo 6

Como um dos limites individuais não existe, não podemos simplesmente multiplicar os limites para encontrar o limite do produto. A regra que permite multiplicar limites só vale quando ambos os limites existem e são finitos.

Resposta

Por isso, é igual a 0, mas não existe. Ou seja, os dois limites não são iguais porque um dos limites individuais não existe.

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Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)
Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(d)
Seja definida em e suponha que exista tal que , para todo . Mostre que .
Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(b)