Se o para alguma constante real , prove que .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado diz que para todo , temos , onde é uma constante real. Precisamos provar que . Para isso, vamos usar o conceito de limites e propriedades de funções limitadas.

Passo 2

Primeiro, observamos que está limitada entre 0 e . Isso significa que, independentemente do valor de , o valor de nunca será menor que 0 nem maior que .

Passo 3

Queremos analisar o limite de quando se aproxima de 0. Sabemos que tende a 0 quando tende a 0, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.

Passo 4

Agora, multiplicamos por . Como está entre 0 e , temos:
Isso cria uma “faixa” onde está limitado.

Passo 5

Vamos calcular o limite superior . Como é uma constante, isso é igual a vezes o limite de :
Então, o limite superior também tende a 0.

Passo 6

Já que está entre 0 e , e ambos os limites extremos tendem a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:

Resposta

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Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(f)
Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(a)
Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(d)
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)