Se o
para alguma constante real
, prove que
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado diz que para todo
, temos
, onde
é uma constante real. Precisamos provar que
. Para isso, vamos usar o conceito de limites e propriedades de funções limitadas.
Passo 2
Primeiro, observamos que
está limitada entre 0 e
. Isso significa que, independentemente do valor de
, o valor de
nunca será menor que 0 nem maior que
.
Passo 3
Queremos analisar o limite de
quando
se aproxima de 0. Sabemos que
tende a 0 quando
tende a 0, porque qualquer número pequeno ao quadrado fica ainda menor.
Passo 4
Agora, multiplicamos
por
. Como
está entre 0 e
, temos:
Isso cria uma “faixa” onde
está limitado.
Passo 5
Vamos calcular o limite superior
. Como
é uma constante, isso é igual a
vezes o limite de
:
Então, o limite superior também tende a 0.
Passo 6
Já que
está entre 0 e
, e ambos os limites extremos tendem a 0 quando
tende a 0, pelo Teorema do Sandwich (ou Teorema da Aperto), podemos concluir que:
Resposta
Exercícios relacionados
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(f)
(f)
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(a)
(a)
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(d)
(d)
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)
(i)