Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(f)
(f)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a função
e precisa encontrar o limite dela quando
se aproxima de 3. Isso está ligado ao estudo de limites na matemática, onde analisamos como a função se comporta perto de um certo ponto. Para resolver, vamos olhar o comportamento da função à medida que
se aproxima de 3, tanto vindo pela esquerda quanto pela direita.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com o denominador
quando
se aproxima de 3. Se a gente substituir 3 diretamente, temos
. Então, o denominador está se aproximando de zero. Isso significa que o valor da função pode crescer muito, talvez indo para o infinito ou menos infinito. Precisamos verificar de que lado
está chegando.
Passo 3
Vamos considerar os limites laterais:
-
Quando
se aproxima de 3 pela esquerda ( ): - Valores de
são um pouco menores que 3, digamos 2.9, 2.99, etc. -
será negativo, mas como está ao quadrado, será positivo. - Portanto, o denominador
será positivo (já que está próximo de 3, positivo). - O numerador é 1, então a função
será positiva e crescendo sem limite.
- Valores de
-
Quando
se aproxima de 3 pela direita ( ): - Valores de
são um pouco maiores que 3, como 3.1, 3.01, etc. - Novamente,
será positivo, e também. - O denominador
é positivo. - O numerador é 1, então a função
continua positiva e crescendo sem limite.
- Valores de
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 3 é
.
Exercícios relacionados
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(a)
(a)
Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(g)
(g)
Se o
para alguma constante real
, prove que
.
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(d)
(d)