Para a função f e o número a dados, expresse cada um dos seguintes limites como infinito, -infinito ou nexists
(f) 1/(x(x-3)²), a=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A gente tem a função e precisa encontrar o limite dela quando se aproxima de 3. Isso está ligado ao estudo de limites na matemática, onde analisamos como a função se comporta perto de um certo ponto. Para resolver, vamos olhar o comportamento da função à medida que se aproxima de 3, tanto vindo pela esquerda quanto pela direita.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com o denominador quando se aproxima de 3. Se a gente substituir 3 diretamente, temos . Então, o denominador está se aproximando de zero. Isso significa que o valor da função pode crescer muito, talvez indo para o infinito ou menos infinito. Precisamos verificar de que lado está chegando.

Passo 3

Vamos considerar os limites laterais:
  1. Quando se aproxima de 3 pela esquerda ( ):
    • Valores de são um pouco menores que 3, digamos 2.9, 2.99, etc.
    • será negativo, mas como está ao quadrado, será positivo.
    • Portanto, o denominador será positivo (já que está próximo de 3, positivo).
    • O numerador é 1, então a função será positiva e crescendo sem limite.
  2. Quando se aproxima de 3 pela direita ( ):
    • Valores de são um pouco maiores que 3, como 3.1, 3.01, etc.
    • Novamente, será positivo, e também.
    • O denominador é positivo.
    • O numerador é 1, então a função continua positiva e crescendo sem limite.

Resposta

O limite de quando se aproxima de 3 é .

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