Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)
(i)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar usar teoremas de limites, especialmente aqueles que envolvem álgebra de limites, como a fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada
. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.
Passo 3
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Começando pelo numerador
:
Agora, o denominador
é uma diferença de potências, que pode ser fatorada usando a fórmula
. Aplicando isso:
Passo 4
Substituindo as fatorações na fração original, temos:
Agora, podemos simplificar cancelando o fator
que está no numerador e no denominador:
Passo 5
Com a expressão simplificada, agora podemos substituir
sem obter uma forma indeterminada:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Para a função
e o número
dados, expresse cada um dos seguintes limites como
ou
(d)
(d)
Se o
para alguma constante real
, prove que
.
Resolva os itens a seguir.
(b) Explique por que sen
.
(b) Explique por que
Seja
definida em
e suponha que exista
tal que
, para todo
. Mostre que
.