Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar usar teoremas de limites, especialmente aqueles que envolvem álgebra de limites, como a fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Começando pelo numerador :
Agora, o denominador é uma diferença de potências, que pode ser fatorada usando a fórmula . Aplicando isso:

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, temos:
Agora, podemos simplificar cancelando o fator que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir sem obter uma forma indeterminada:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Para a função e o número dados, expresse cada um dos seguintes limites como ou
(d)
Se o para alguma constante real , prove que .
Resolva os itens a seguir.
(b) Explique por que sen .
Seja definida em e suponha que exista tal que , para todo . Mostre que .