Use os teoremas sobre limites para determiná-los, quando eles existirem.
(i) lim x 1 x^2+x-2x^5-1

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Aqui, estamos trabalhando com limites, um conceito fundamental em cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções quando a variável se aproxima de um determinado valor. Para resolver esse limite, vamos precisar usar teoremas de limites, especialmente aqueles que envolvem álgebra de limites, como a fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir 1^2 + 1 - 21^5 - 1 = 1 + 1 - 21 - 1 = 00 diretamente na função para ver o que acontece:
Obtemos uma forma indeterminada . Isso significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração. Começando pelo numerador x^2 + x - 2 = (x + 2)(x - 1) :
x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
Agora, o denominador é uma diferença de potências, que pode ser fatorada usando a fórmula . Aplicando isso:

Passo 4

Substituindo as fatorações na fração original, temos:
(x + 2)(x - 1)(x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)
Agora, podemos simplificar cancelando o fator x + 2x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 que está no numerador e no denominador:

Passo 5

Com a expressão simplificada, agora podemos substituir 1 + 21^4 + 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 31 + 1 + 1 + 1 + 1 = 35 sem obter uma forma indeterminada:

Resposta

O limite é .

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