Resolver as seguintes equações diferenciais: (2x - y + 4) dy + (x - 2y + 5) dx = 0.
Resp.: (x+y-1)^3 = C(x-y+3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função cuja derivada corresponda à equação dada.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos e . Para a equação ser exata, a condição deve ser satisfeita.

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de x ou apenas de y. Tentando um fator que depende de x, denotamos por mu(x). A condição para exatidão se ajusta a:
Substituindo os valores:
Parece complicado, então vamos tentar um fator integrante que depende de uma combinação de x e y.

Passo 5

Observando a equação, notamos que a combinação pode simplificar. Vamos tentar uma substituição . Então, .
Expressando a equação original em termos de u:
Substituindo :
Simplificando isso ajudará a encontrar uma solução mais fácil.

Passo 6

Após simplificar e reorganizar os termos, conseguimos integrar ambos os lados da equação em termos de u e x. Isso leva à relação:
onde C é uma constante de integração.

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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