Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Resp.:
.
Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Isso está relacionado ao conteúdo de equações diferenciais exatas. Para resolver, vamos verificar se a equação é exata e, se for, encontrar uma função cuja derivada corresponda à equação dada.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da equação. Temos
e
. Para a equação ser exata, a condição
deve ser satisfeita.
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos procurar um fator integrante que depende apenas de
ou apenas de
. Tentando um fator que depende de
, denotamos por
. A condição para exatidão se ajusta a:
Substituindo os valores:
Parece complicado, então vamos tentar um fator integrante que depende de uma combinação de
e
.
Passo 5
Observando a equação, notamos que a combinação
pode simplificar. Vamos tentar uma substituição
. Então,
.
Expressando a equação original em termos de
:
Substituindo
:
Simplificando isso ajudará a encontrar uma solução mais fácil.
Passo 6
Após simplificar e reorganizar os termos, conseguimos integrar ambos os lados da equação em termos de
e
. Isso leva à relação:
onde
é uma constante de integração.
Resposta
A solução da equação diferencial é
.