Uma função
é definida por partes como:
Determine o valor de
para que a função seja contínua em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes:
Queremos descobrir o valor de
que faz a função ser contínua em
. Isso envolve o conceito de continuidade, que basicamente quer dizer que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa a função ser contínua em
. Para isso, a função deve atender três condições:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de 2 existe. - O limite de
quando se aproxima de 2 é igual a .
No nosso caso,
, então vamos calcular o limite de
quando
tende a 2.
Passo 3
Vamos calcular:
Observamos que o numerador
pode ser fatorado como
. Então, reescrevendo:
Agora, podemos simplificar
no numerador e denominador, desde que
:
Portanto, o limite fica:
Passo 4
Para que a função seja contínua em
, o limite que acabamos de calcular deve ser igual a
, que é
. Ou seja:
Resposta
O valor de
que torna a função contínua em
é
.