Uma função f(x) é definida por partes como:
f(x) = { (x^2 - 4) / (x - 2) se x ≠ 2, k se x = 2 }
Determine o valor de k para que a função seja contínua em x = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos apresenta uma função definida por partes:
Queremos descobrir o valor de que faz a função ser contínua em . Isso envolve o conceito de continuidade, que basicamente quer dizer que não tem “saltos” ou “buracos” no gráfico da função naquele ponto.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa a função ser contínua em . Para isso, a função deve atender três condições:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de 2 existe.
  3. O limite de quando se aproxima de 2 é igual a .
No nosso caso, , então vamos calcular o limite de quando tende a 2.

Passo 3

Vamos calcular:
Observamos que o numerador pode ser fatorado como . Então, reescrevendo:
Agora, podemos simplificar no numerador e denominador, desde que :
Portanto, o limite fica:

Passo 4

Para que a função seja contínua em , o limite que acabamos de calcular deve ser igual a , que é . Ou seja:

Resposta

O valor de que torna a função contínua em é .

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