Seja
. Determine o valor do limite
. Caso não exista, justifique o motivo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos encontrar o limite quando
se aproxima de 2, ou seja,
. Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites de funções racionais e verificar se o limite existe ou não.
Passo 2
Vamos tentar substituir
diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que a divisão por zero indica que a função não está definida em
, o que significa que precisamos analisar o comportamento da função perto de
.
Passo 3
Para entender melhor, vamos tentar simplificar a função fatorando o numerador:
Usando a fórmula de Bhaskara ou outros métodos de fatoração, encontramos que os fatores são:
Portanto, a função fica:
Observamos que
não é um fator do numerador, então não há como simplificar a expressão para eliminar o denominador zero.
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento da função quando
se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (direita) e por valores menores que 2 (esquerda).
-
Quando
se aproxima de 2 pela direita ( ): O numerador:Então,. -
Quando
se aproxima de 2 pela esquerda ( ): O numerador permanece positivo ().
Então,.
Resposta
O limite
não existe porque a função tende a
quando
se aproxima de 2 pela direita e a
quando se aproxima pela esquerda.