Seja f(x)=3 x^2-x-4x-2. Determine o valor do limite lim x 2 f(x). Caso não exista, justifique o motivo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos encontrar o limite quando se aproxima de 2, ou seja, . Para resolver isso, vamos utilizar o conceito de limites de funções racionais e verificar se o limite existe ou não.

Passo 2

Vamos tentar substituir f(2) = 3(2)^2 - 2 - 42 - 2 = 12 - 2 - 40 = 60 diretamente na função para ver o que acontece:
Aqui, vemos que a divisão por zero indica que a função não está definida em , o que significa que precisamos analisar o comportamento da função perto de .

Passo 3

Para entender melhor, vamos tentar simplificar a função fatorando o numerador:
3x^2 - x - 4
Usando a fórmula de Bhaskara ou outros métodos de fatoração, encontramos que os fatores são:
3x^2 - x - 4 = (3x + 4)(x - 1)
Portanto, a função fica:
f(x) = (3x + 4)(x - 1)x - 2
Observamos que não é um fator do numerador, então não há como simplificar a expressão para eliminar o denominador zero.

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função quando x - 2 to 0^+ (positivo) se aproxima de 2 por valores maiores que 2 (direita) e por valores menores que 2 (esquerda).
  • Quando 3(2)^2 - 2 - 4 = 12 - 2 - 4 = 6 (positivo) se aproxima de 2 pela direita ( x - 2 to 0^- (negativo) ):
    O numerador:
    Então, .
  • Quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ):
    O numerador permanece positivo ( ).
    Então, .

Resposta

O limite não existe porque a função tende a quando se aproxima de 2 pela direita e a quando se aproxima pela esquerda.

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