Julgue as afirmações.
(I) A taxa de variação média de uma função constante em um intervalo
é nula nesse intervalo.
(II) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
, então ela é crescente no intervalo
.
(III) Se uma função é decrescente em um intervalo
, então sua taxa de variação média é negativa em
.
É correto afirmar que:
(A) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(B) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
(I) A taxa de variação média de uma função constante em um intervalo
(II) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
(III) Se uma função é decrescente em um intervalo
É correto afirmar que:
(A) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(B) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.
Passo 1
Vamos lá! Temos uma questão que pede para julgar três afirmações sobre funções e suas taxas de variação média. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função constante, como calcular a taxa de variação média e relacionar isso com o comportamento da função (crescente ou decrescente).
Passo 2
Afirmação I: A taxa de variação média de uma função constante em um intervalo
é nula nesse intervalo.
Uma função constante tem o mesmo valor para qualquer
no intervalo. A taxa de variação média é calculada pela diferença dos valores da função dividida pela diferença dos
. Como não há variação, essa diferença é zero.
Então, a afirmação I é verdadeira.
Passo 3
Afirmação II: Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo
, então ela é crescente no intervalo
.
Ter uma taxa de variação média positiva significa que a função, em média, está aumentando de
para
. No entanto, isso não garante que a função seja sempre crescente em todo o intervalo. Pode haver partes onde a função diminui, desde que, no geral, o aumento supere as diminuições.
Por exemplo, a função
tem uma taxa de variação média positiva em certos intervalos, mas não é estritamente crescente em todos eles.
Portanto, a afirmação II é falsa.
Passo 4
Afirmação III: Se uma função é decrescente em um intervalo
, então sua taxa de variação média é negativa em
.
Se a função está decrescendo, isso significa que conforme
aumenta,
diminui. A taxa de variação média será a diferença
dividida por
. Como
em uma função decrescente, essa diferença será negativa.
Portanto, a afirmação III é verdadeira.
Resposta
A alternativa correta é a (A) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.