Julgue as afirmações.
(I) A taxa de variação média de uma função constante em um intervalo I é nula nesse intervalo.
(II) Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo I, então ela é crescente no intervalo I.
(III) Se uma função é decrescente em um intervalo I, então sua taxa de variação média é negativa em I.
É correto afirmar que:
(A) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.
(B) Apenas (I) e (II) são verdadeiras.
© Apenas (II) e (III) são verdadeiras.
(D) Todas são verdadeiras.
(E) Todas são falsas.

Passo 1

Vamos lá! Temos uma questão que pede para julgar três afirmações sobre funções e suas taxas de variação média. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função constante, como calcular a taxa de variação média e relacionar isso com o comportamento da função (crescente ou decrescente).

Passo 2

Afirmação I: A taxa de variação média de uma função constante em um intervalo é nula nesse intervalo.
Uma função constante tem o mesmo valor para qualquer no intervalo. A taxa de variação média é calculada pela diferença dos valores da função dividida pela diferença dos . Como não há variação, essa diferença é zero.
çãé
Então, a afirmação I é verdadeira.

Passo 3

Afirmação II: Se a taxa de variação média de uma função é positiva em um intervalo , então ela é crescente no intervalo .
Ter uma taxa de variação média positiva significa que a função, em média, está aumentando de para . No entanto, isso não garante que a função seja sempre crescente em todo o intervalo. Pode haver partes onde a função diminui, desde que, no geral, o aumento supere as diminuições.
Por exemplo, a função tem uma taxa de variação média positiva em certos intervalos, mas não é estritamente crescente em todos eles.
Portanto, a afirmação II é falsa.

Passo 4

Afirmação III: Se uma função é decrescente em um intervalo , então sua taxa de variação média é negativa em .
Se a função está decrescendo, isso significa que conforme aumenta, diminui. A taxa de variação média será a diferença dividida por . Como em uma função decrescente, essa diferença será negativa.
çãé
Portanto, a afirmação III é verdadeira.

Resposta

A alternativa correta é a (A) Apenas (I) e (III) são verdadeiras.

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