A função f(x) = { x^2, x <= 1; 2, x > 1 } é derivável em x = 1 ? Justifique!

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: A função f(x) é derivável em x = 1? Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivabilidade e limites. Precisamos verificar se a derivada da função existe nesse ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para a função ser derivável em x = 1, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos verificar a continuidade.
  • Quando x <= 1, . Assim, .
  • Quando , .
Vamos ver o limite de f(x) quando x se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, a função não é contínua em x = 1.

Passo 3

Como a função não é contínua em x = 1, ela não pode ser derivável nesse ponto. A derivabilidade implica continuidade, então se não há continuidade, a derivada não existe.

Resposta

A função f(x) não é derivável em x = 1 porque ela n��o é contínua nesse ponto.

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