A função
é derivável em
? Justifique!
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
A pergunta é: A função
é derivável em
? Para resolver isso, vamos usar conceitos de derivabilidade e limites. Precisamos verificar se a derivada da função existe nesse ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para a função ser derivável em
, ela precisa ser contínua nesse ponto. Então, vamos verificar a continuidade.
- Quando
, . Assim, . - Quando
, .
Vamos ver o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda e pela direita:
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes, a função não é contínua em
.
Passo 3
Como a função não é contínua em
, ela não pode ser derivável nesse ponto. A derivabilidade implica continuidade, então se não há continuidade, a derivada não existe.
Resposta
A função
não é derivável em
porque ela n��o é contínua nesse ponto.
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se
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se
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e
, se
Derive