Para a função f(x) = ln(cos(2 pi x)) :
1,0 Calcule f'(1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar a derivada dessa função no ponto , ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de derivadas de funções compostas e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar a função logaritmo natural. A derivada de em relação a é , onde é uma função de . No nosso caso, .

Passo 3

Agora, precisamos achar a derivada de . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é , e a derivada de em relação a é . Então:

Passo 4

Agora que temos e , podemos usar a regra da derivada do logaritmo:

Passo 5

Finalmente, vamos calcular . Substituímos na expressão que encontramos:
Sabemos que porque e . Então:

Resposta

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