Sendo
Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
e precisamos encontrar a sua derivada em
, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.
Passo 2
Vamos começar aplicando a regra da cadeia. A função
é uma função composta, onde uma função está dentro de outra. Primeiro, identificamos as camadas da composição:
- A função externa é
, onde . - A função intermediária é
, onde .
Passo 3
Vamos derivar a função externa em relação a
:
Passo 4
Agora, derivamos a função intermediária
em relação a
:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Agora, juntamos todas as derivadas usando a regra da cadeia:
Passo 7
Substituímos
e
de volta nas expressões:
Passo 8
Agora, substituímos
na expressão para encontrar
:
Primeiro, calculamos
em
:
Em seguida, calculamos
:
Agora, substituímos esses valores na derivada:
Passo 9
Calculamos as potências e os produtos:
Então:
Resposta
Portanto, a derivada de
em
é
.
Exercícios relacionados
Mostre que o volume de uma pirâmide reta com medida de altura
e base quadrada com medida de lado
é igual a
.
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
3a
Dado entre
e
a área da seção transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
.
3b
Uma expressão integral para o volume de é
.
3a
Dado
3b
Uma expressão integral para o volume de
Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pelo eixo
e pela curva
.
2a
Dado entre 0 e
, a área da seção transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
-
2b
Uma expressão integral para o volume de é
.
2c
O valor da integral em (b) é .
2a
Dado
2b
Uma expressão integral para o volume de
2c
O valor da integral em (b) é
Para a função
:
Calcule