Sendo
Calcule .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função e precisamos encontrar a sua derivada em , ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma técnica de derivação para funções compostas.

Passo 2

Vamos começar aplicando a regra da cadeia. A função é uma função composta, onde uma função está dentro de outra. Primeiro, identificamos as camadas da composição:
  1. A função externa é , onde .
  2. A função intermediária é , onde .

Passo 3

Vamos derivar a função externa em relação a :

Passo 4

Agora, derivamos a função intermediária em relação a :

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 6

Agora, juntamos todas as derivadas usando a regra da cadeia:

Passo 7

Substituímos e de volta nas expressões:

Passo 8

Agora, substituímos na expressão para encontrar :
Primeiro, calculamos em :
Em seguida, calculamos :
Agora, substituímos esses valores na derivada:

Passo 9

Calculamos as potências e os produtos:
éúáê
Então:

Resposta

Portanto, a derivada de em é .

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Mostre que o volume de uma pirâmide reta com medida de altura e base quadrada com medida de lado é igual a .
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pela reta e a curva .
3a
Dado entre e a área da seção transversal de em , perpendicular ao eixo , é .
3b
Uma expressão integral para o volume de é .
Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pelo eixo e pela curva .
2a
Dado entre 0 e , a área da seção transversal de em , perpendicular ao eixo , é -
2b
Uma expressão integral para o volume de é .
2c
O valor da integral em (b) é .
Para a função :
Calcule