Um sólido é gerado fazendo girar em torno do eixo a região delimitada pelo eixo e pela curva .
2a
Dado entre 0 e , a área da seção transversal de em , perpendicular ao eixo , é -
2b
Uma expressão integral para o volume de é .
2c
O valor da integral em (b) é .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre um sólido gerado ao girar a região delimitada pelo eixo e a curva no intervalo de a em torno do eixo . Vamos precisar usar o conceito de cálculo de volumes de sólidos de revolução, especificamente o método das seções transversais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a área da seção transversal do sólido perpendicular ao eixo no ponto . Quando giramos a curva em torno do eixo , a seção transversal é um círculo com raio .
A área de um círculo é dada por:
Aqui, , então substituindo:

Passo 3

Agora, vamos montar a expressão integral para o volume do sólido . O volume pode ser calculado integrando a área das seções transversais ao longo do intervalo de a .
Então, a expressão integral é:

Passo 4

Por fim, vamos calcular o valor da integral para encontrar o volume. Temos:
A integral de é , então:

Resposta

2a)
2b)
2c)

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Sendo
Calcule .
Mostre que o volume de uma pirâmide reta com medida de altura e base quadrada com medida de lado é igual a .
Para a função :
Calcule
Para a função :
Calcule