Mostre que todo conjunto aberto é uma reunião de intervalos abertos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é mostrar que todo conjunto aberto dentro dos números reais pode ser escrito como uma união de intervalos abertos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto, o que são intervalos abertos e como eles se relacionam. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em , um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, existe uma “margem” ao redor desse ponto que também está dentro do conjunto. Por exemplo, o intervalo aberto é aberto porque, se pegarmos qualquer ponto entre e , podemos encontrar um pouquinho à esquerda e à direita desse ponto que ainda estão dentro de .

Passo 3

Agora, vamos falar sobre intervalos abertos. Um intervalo aberto é simplesmente o conjunto de todos os números reais tais que . Não inclui os extremos e . Eles são importantes porque são os blocos de construção dos conjuntos abertos em .

Passo 4

Nosso objetivo é mostrar que qualquer conjunto aberto pode ser escrito como uma união de tais intervalos abertos. Para isso, vamos utilizar o fato de que em , os conjuntos abertos podem ser decompostos em “pedaços” que são intervalos abertos.

Passo 5

Vamos começar pegando um ponto qualquer no conjunto aberto . Como é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de , digamos , que está totalmente dentro de . Esse intervalo é um dos intervalos abertos que vamos juntar para formar .

Passo 6

Agora, precisamos considerar todos esses intervalos para todos os pontos de . No entanto, muitos desses intervalos vão se sobrepor. O próximo passo é juntar todos esses intervalos sobrepostos em intervalos maiores sem sobreposição, garantindo que cobrimos todo .

Passo 7

Para fazer isso, imaginamos “crescer” cada intervalo o máximo possível sem sair de . Isso nos dá uma coleção de intervalos abertos disjuntos que, quando unidos, formam exatamente o conjunto .

Passo 8

Finalmente, ao juntar todos esses intervalos abertos disjuntos, obtemos uma união de intervalos abertos que cobre todo o conjunto . Ou seja, é igual à união desses intervalos abertos.

Resposta

Portanto, mostramos que todo conjunto aberto pode ser expresso como uma união de intervalos abertos.

Exercícios relacionados

Calcule os limites abaixo.
Prove que:
.
Uma função , onde , é dita contínua no ponto , se
Mostre que é contínua em se, e somente se, for um conjunto aberto, para todo aberto .
Seja uma familia de intervalos abertos, todos contendo o ponto . Mostre que é um intervalo aberto.