Mostre que todo conjunto aberto
é uma reunião de intervalos abertos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é mostrar que todo conjunto aberto
dentro dos números reais
pode ser escrito como uma união de intervalos abertos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um conjunto aberto, o que são intervalos abertos e como eles se relacionam. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um conjunto aberto. Em
, um conjunto é aberto se, para cada ponto dentro dele, existe uma “margem” ao redor desse ponto que também está dentro do conjunto. Por exemplo, o intervalo aberto
é aberto porque, se pegarmos qualquer ponto entre
e
, podemos encontrar um pouquinho à esquerda e à direita desse ponto que ainda estão dentro de
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre intervalos abertos. Um intervalo aberto
é simplesmente o conjunto de todos os números reais
tais que
. Não inclui os extremos
e
. Eles são importantes porque são os blocos de construção dos conjuntos abertos em
.
Passo 4
Nosso objetivo é mostrar que qualquer conjunto aberto
pode ser escrito como uma união de tais intervalos abertos. Para isso, vamos utilizar o fato de que em
, os conjuntos abertos podem ser decompostos em “pedaços” que são intervalos abertos.
Passo 5
Vamos começar pegando um ponto qualquer
no conjunto aberto
. Como
é aberto, existe um intervalo aberto ao redor de
, digamos
, que está totalmente dentro de
. Esse intervalo
é um dos intervalos abertos que vamos juntar para formar
.
Passo 6
Agora, precisamos considerar todos esses intervalos para todos os pontos de
. No entanto, muitos desses intervalos vão se sobrepor. O próximo passo é juntar todos esses intervalos sobrepostos em intervalos maiores sem sobreposição, garantindo que cobrimos todo
.
Passo 7
Para fazer isso, imaginamos “crescer” cada intervalo o máximo possível sem sair de
. Isso nos dá uma coleção de intervalos abertos disjuntos que, quando unidos, formam exatamente o conjunto
.
Passo 8
Finalmente, ao juntar todos esses intervalos abertos disjuntos, obtemos uma união de intervalos abertos que cobre todo o conjunto
. Ou seja,
é igual à união desses intervalos abertos.
Resposta
Portanto, mostramos que todo conjunto aberto
pode ser expresso como uma união de intervalos abertos.
Exercícios relacionados
Calcule os limites abaixo.
Prove que:
.
Uma função
, onde
, é dita contínua no ponto
, se
Mostre que
é contínua em
se, e somente se,
for um conjunto aberto, para todo aberto
.
Seja
uma familia de intervalos abertos, todos contendo o ponto
. Mostre que
é um intervalo aberto.