A função é continua ? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para verificar se a função é contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso para uma função específica.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Observamos que:
Então, a função simplifica para .

Passo 3

Entendido isso, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se três condições forem satisfeitas:
  1. Existência de : A função está definida em .
  2. Existência do limite de quando se aproxima de : existe.
  3. Igualdade entre e o limite: .

Passo 4

Vamos verificar cada uma dessas condições para em :
  1. Existência de : Substituindo na função, temos . Então, a função está definida em .
  2. Existência do limite quando se aproxima de 0: Como é uma constante, o limite quando se aproxima de qualquer valor, inclusive , é sempre . Portanto, .
  3. Igualdade entre e o limite: Vimos que e . Portanto, .

Passo 5

Como todas as três condições de continuidade são satisfeitas, podemos concluir que a função é contínua em .

Resposta

Sim, a função é contínua em .

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Calcule, se existir:
h) para
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de quando varia de a .