A função
é continua
? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado nos pede para verificar se a função
é contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como verificar isso para uma função específica.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a análise. Observamos que:
Então, a função simplifica para
.
Passo 3
Entendido isso, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se três condições forem satisfeitas:
- Existência de
: A função está definida em . - Existência do limite de
quando se aproxima de : existe. - Igualdade entre
e o limite: .
Passo 4
Vamos verificar cada uma dessas condições para
em
:
-
Existência de
: Substituindo na função, temos . Então, a função está definida em . -
Existência do limite quando
se aproxima de 0: Como é uma constante, o limite quando se aproxima de qualquer valor, inclusive , é sempre . Portanto, . -
Igualdade entre
e o limite: Vimos que e . Portanto, .
Passo 5
Como todas as três condições de continuidade são satisfeitas, podemos concluir que a função
é contínua em
.
Resposta
Sim, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Calcule, se existir:
h) para
h)
Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis.
b)
b)
Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de
quando
varia de
a
.