Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de
quando
varia de
a
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar diferenciais para encontrar uma aproximação da variação da função
quando os pontos
mudam de
para
. Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas parciais e diferenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as variações em
e
. A mudança de
é de
para
, então:
E a mudança de
é de
para
, então:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 4
Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto inicial
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais avaliadas, podemos calcular a diferencial
que aproxima a variação de
:
Substituindo os valores:
Resposta
A variação aproximada de
quando
varia de
para
é de aproximadamente 7,38.
Exercícios relacionados
A função
é continua
? Justifique.
Calcule, se existir:
h) para
h)
Prove que toda normal a uma esfera passa pelo seu centro.