Por meio de diferenciais, obtenha uma aproximação da variação de f(x, y) = x^2 - 3 x^3 y^2 + 4 x - 2 y^3 + 6 quando (x, y) varia de (-2, 3) a -2,02 3,01.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar diferenciais para encontrar uma aproximação da variação da função quando os pontos mudam de para . Para isso, vamos precisar dos conceitos de derivadas parciais e diferenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as variações em e . A mudança de é de para , então:
E a mudança de é de para , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e . As derivadas parciais nos ajudam a entender como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial de em relação a é:
E a derivada parcial de em relação a é:

Passo 4

Vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto inicial .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais avaliadas, podemos calcular a diferencial que aproxima a variação de :
Substituindo os valores:

Resposta

A variação aproximada de quando varia de para é de aproximadamente 7,38.

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