A funcão
Ediferençável no ponto
? Justificar sua resposta
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a função
é diferenciável no ponto
. Isso faz parte do cálculo diferencial multivariado, onde a gente estuda como as funções mudam quando têm mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existem e são contínuas por ali.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função:
Queremos saber se essa função é diferenciável em
. Para isso, a função precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas parciais
e
devem existir e ser contínuas também.
Passo 3
Vamos começar verificando a continuidade da função em
. Para isso, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se esse limite for igual ao valor da função no ponto, que é 0, então a função é contínua ali.
Passo 4
Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao se aproximar de
por diferentes caminhos. Se o limite depender do caminho escolhido, então ele não existe.
- Caminho 1:
- Caminho 2:
- Caminho 3:
(onde é uma constante qualquer)
Como podemos ver, os limites são diferentes dependendo do valor de
. Por exemplo, para
, o limite é
, e para
, é 0. Isso mostra que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.
Passo 5
Como o limite de
quando
se aproxima de
varia dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe. Portanto, a função
não é contínua no ponto
.
E, já que a continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, podemos concluir que a função não é diferenciável nesse ponto.
Resposta
Não, a função
não é diferenciável no ponto
, pois ela não é contínua nesse ponto.
Exercícios relacionados
Todas as soluções têm limite 3 quando
.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando
Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.
Se
e
calcular
quando
Determine os zeros das funções abaixo: