A funcão
Ediferençável no ponto ? Justificar sua resposta

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que ver se a função é diferenciável no ponto . Isso faz parte do cálculo diferencial multivariado, onde a gente estuda como as funções mudam quando têm mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar verificar se a função é contínua nesse ponto e se as derivadas parciais existem e são contínuas por ali.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na definição da função:
Queremos saber se essa função é diferenciável em . Para isso, a função precisa ser contínua nesse ponto e as derivadas parciais e devem existir e ser contínuas também.

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade da função em . Para isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de . Se esse limite for igual ao valor da função no ponto, que é 0, então a função é contínua ali.

Passo 4

Para calcular esse limite, vamos analisar o comportamento da função ao se aproximar de por diferentes caminhos. Se o limite depender do caminho escolhido, então ele não existe.
  • Caminho 1:
  • Caminho 2:
  • Caminho 3: (onde é uma constante qualquer)
Como podemos ver, os limites são diferentes dependendo do valor de . Por exemplo, para , o limite é , e para , é 0. Isso mostra que o limite não é o mesmo em todos os caminhos.

Passo 5

Como o limite de quando se aproxima de varia dependendo do caminho escolhido, isso significa que o limite não existe. Portanto, a função não é contínua no ponto .
E, já que a continuidade é uma condição necessária para a diferenciabilidade, podemos concluir que a função não é diferenciável nesse ponto.

Resposta

Não, a função não é diferenciável no ponto , pois ela não é contínua nesse ponto.

Exercícios relacionados

Todas as soluções têm limite 3 quando .
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.
Se e calcular quando
Determine os zeros das funções abaixo: