Todas as soluções têm limite 3 quando
.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando
. Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções, quando o tempo
tende ao infinito, se aproximam de 3. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e comportamento assintótico das soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as soluções de equações diferenciais lineares de primeira ordem se comportam no infinito e como garantir que todas elas se aproximem de 3.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Nosso objetivo é escolher
e
de forma que, quando
tende ao infinito, todas as soluções
tendam a 3. Para que isso aconteça, queremos que o termo constante na solução seja 3.
Passo 3
Vamos considerar uma equação diferencial onde
, uma constante positiva, e
. Assim, nossa equação fica:
Por que fizemos isso? Porque, ao resolver essa equação, esperamos que a solução se estabilize no valor constante
quando
tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, encontramos o fator integrante (
):
Multiplicamos toda a equação por
:
A esquerda da equação agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Onde
é a constante de integração. Agora, isolamos
:
Passo 5
Vamos analisar o comportamento da solução quando
:
Quando
tende ao infinito,
tende a 0, já que
. Portanto:
Isso confirma que, independentemente do valor da constante
, todas as soluções
se aproximam de 3 quando
tende ao infinito.
Resposta
A equação diferencial construída é:
Sua solução geral é:
E, de fato, todas as soluções
têm limite 3 quando
.
Exercícios relacionados
Use o método do Problema 28 para resolver a equação diferencial dada.
Use a Regra da Cadeia para achar
ou
.
A funcão
Ediferençável no ponto
? Justificar sua resposta
Se
e
calcular
quando