Todas as soluções têm limite 3 quando .
Construa uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções têm o comportamento descrito quando . Depois resolva sua equação e confirme que todas as soluções têm, de fato, a propriedade especificada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente construir uma equação diferencial linear de primeira ordem cujas soluções, quando o tempo tende ao infinito, se aproximam de 3. Isso envolve conceitos de equações diferenciais e comportamento assintótico das soluções. Para resolver isso, vamos precisar entender como as soluções de equações diferenciais lineares de primeira ordem se comportam no infinito e como garantir que todas elas se aproximem de 3.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da forma geral de uma equação diferencial linear de primeira ordem:
Nosso objetivo é escolher e de forma que, quando tende ao infinito, todas as soluções tendam a 3. Para que isso aconteça, queremos que o termo constante na solução seja 3.

Passo 3

Vamos considerar uma equação diferencial onde , uma constante positiva, e . Assim, nossa equação fica:
Por que fizemos isso? Porque, ao resolver essa equação, esperamos que a solução se estabilize no valor constante quando tende ao infinito.

Passo 4

Agora, vamos resolver a equação diferencial:
Primeiro, encontramos o fator integrante ( ):
Multiplicamos toda a equação por :
A esquerda da equação agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados em relação a :
Onde é a constante de integração. Agora, isolamos :

Passo 5

Vamos analisar o comportamento da solução quando :
Quando tende ao infinito, tende a 0, já que . Portanto:
Isso confirma que, independentemente do valor da constante , todas as soluções se aproximam de 3 quando tende ao infinito.

Resposta

A equação diferencial construída é:
Sua solução geral é:
E, de fato, todas as soluções têm limite 3 quando .

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A funcão
Ediferençável no ponto ? Justificar sua resposta
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