Uma função da forma
é uma função racional denominada inversa polinomial, uma vez que sua inversa é uma função linear da forma
, pois, supondo
, tem-se
, onde
e
. Determine as constantes
e
da forma linear e as constantes
e
para a função racional desse tipo, definida pela tabela abaixo:
1
2
3
4
5
2
|
1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
|
|
|
|
|
2 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de funções racionais e suas inversas lineares. Precisamos encontrar as constantes
e
da função inversa
e também as constantes
e
da função racional
, usando os valores fornecidos na tabela.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a relação entre
e sua inversa. A inversa da função é dada por:
onde
.
Nosso objetivo é encontrar
e
usando os valores da tabela.
Passo 3
Vamos calcular
e
para cada valor de
na tabela:
Passo 4
Agora temos pares de pontos
. A relação é linear:
. Vamos usar dois desses pontos para encontrar
e
. Vou escolher os pontos quando
e
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar
:
Calculando os valores:
Passo 6
Agora que temos
, vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar
. Usando a primeira equação:
Passo 7
Agora que temos
e
, vamos usar as relações fornecidas para encontrar
e
:
Primeiro, de
:
Agora, usando
:
Resposta
As constantes da forma linear são
e
. Para a função racional, os valores são
e
.
Exercícios relacionados
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(l) ;
$(l)
Considerando que, em um experimento de adubação, a resposta do crescimento de uma planta
pode ser dada por
em que
é a quantidade de fertilizante adicionada:
(a) Resolva as equações e
e explique seus significados.
(a) Resolva as equações
Para cada função dada verifique se a mesma é derivável no ponto
indicado:
$(o) ;
$(o)