Uma função da forma f(x) = a*x / (x + b) é uma função racional denominada inversa polinomial, uma vez que sua inversa é uma função linear da forma y = A z + B, pois, supondo f(x) ≠ 0, tem-se 1/f(x) = b/a * 1/x + 1/a, onde y = 1/f(x), A = b/a, z = 1/x e B = 1/a. Determine as constantes A e B da forma linear e as constantes a e b para a função racional desse tipo, definida pela tabela abaixo:
x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 f(x) | 2/3 | 8/7 | 3/2 | 16/9 | 2 1 2 3 4 5
2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de funções racionais e suas inversas lineares. Precisamos encontrar as constantes e da função inversa e também as constantes e da função racional , usando os valores fornecidos na tabela.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a relação entre e sua inversa. A inversa da função é dada por:
onde .
Nosso objetivo é encontrar e usando os valores da tabela.

Passo 3

Vamos calcular e para cada valor de na tabela:

Passo 4

Agora temos pares de pontos . A relação é linear: . Vamos usar dois desses pontos para encontrar e . Vou escolher os pontos quando e :
Para :
Para :

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações:
Vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar :
Calculando os valores:

Passo 6

Agora que temos , vamos substituir esse valor em uma das equações para encontrar . Usando a primeira equação:

Passo 7

Agora que temos e , vamos usar as relações fornecidas para encontrar e :
Primeiro, de :
Agora, usando :

Resposta

As constantes da forma linear são e . Para a função racional, os valores são e .

Exercícios relacionados