(2.0)
Questāo: Encontre os valores extremos absolutos de
no disco unitátion
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar os valores extremos absolutos da função
dentro do disco unitário definido por
. Isso envolve entender de cálculo multivariável, especificamente como encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos da função dentro do disco. Para isso, calculamos as derivadas parciais de
em relação a
e
e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
é:
E em relação a
é:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro do disco unitário
. Substituindo:
Sim, está dentro. Então, vamos calcular o valor de
nesse ponto:
Passo 4
Agora, precisamos verificar os valores de
na fronteira do disco, onde
. Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde
e
. Substituindo na função:
Simplificando:
Passo 5
Para encontrar os extremos dessa função na fronteira, derivamos
em relação a
e igualamos a zero:
Então, temos duas possibilidades:
-
⇒ -
⇒ ⇒
Passo 6
Agora, calculamos
para cada valor de
:
-
:
-
:
-
:
-
:
Passo 7
Comparando todos os valores encontrados:
- Ponto interno:
- Fronteira:
-
: -
: -
e :
-
O menor valor é
e o maior valor é
.
Resposta
Os valores extremos absolutos de
no disco unitário são:
- Mínimo absoluto:
no ponto - Máximo absoluto:
no ponto
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.
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