(2.0) Questāo: Encontre os valores extremos absolutos de no disco unitátion

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Precisamos encontrar os valores extremos absolutos da função dentro do disco unitário definido por . Isso envolve entender de cálculo multivariável, especificamente como encontrar máximos e mínimos de funções com restrições.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos internos da função dentro do disco. Para isso, calculamos as derivadas parciais de em relação a e e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a é:
E em relação a é:
Igualando a zero:
Então, temos um ponto crítico em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esse ponto está dentro do disco unitário . Substituindo:
Sim, está dentro. Então, vamos calcular o valor de nesse ponto:

Passo 4

Agora, precisamos verificar os valores de na fronteira do disco, onde . Para facilitar, podemos usar coordenadas polares, onde e . Substituindo na função:
Simplificando:

Passo 5

Para encontrar os extremos dessa função na fronteira, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Então, temos duas possibilidades:

Passo 6

Agora, calculamos para cada valor de :
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 7

Comparando todos os valores encontrados:
  • Ponto interno:
  • Fronteira:
    • :
    • :
    • e :
O menor valor é e o maior valor é .

Resposta

Os valores extremos absolutos de no disco unitário são:
  • Mínimo absoluto: no ponto
  • Máximo absoluto: no ponto

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