Seja . Determine o domínio de f. Existem valores reais a e b de modo que f seja contínua em x=1 ? E em x=2 ? Justifique usando os limites laterais. A função é contínua em R-1,2 ? Existem descontinuidades? Existem descontinuidades removíveis? Esboce o gráfico da f
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes:
f(x) = -raiz2 - x, & se x < 1 a cdot x + b, & se 1 <= x < 2 |x^2 - 7x + 12|, & se x >= 2
A matéria envolvida aqui é a continuidade de funções, que estuda se a função não possui “saltos” ou “buracos” no seu gráfico. Vamos precisar entender o domínio da função (todos os valores de x para os quais a função está definida) e analisar a continuidade em pontos específicos (x=1 e x=2) usando limites laterais.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio de 2 - x >= 0 implies x <= 2 . O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida.
Para : A expressão é . O que está dentro da raiz quadrada deve ser não negativo:
Mas como , não há problema aqui.
Para : A expressão é , que é um polinômio e está definido para todos os reais.
Para : A expressão é . Como é valor absoluto de um polinômio, também está definido para todos os reais.
Então, o domínio de é todos os números reais, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos verificar se existem valores reais de limx to 1^- -raiz2 - x = -raiz2 - 1 = -1 e limx to 1^+ a cdot x + b = a cdot 1 + b = a + b que tornem a função contínua em -1 = a + b .
Para a função ser contínua em a + b = -1 , o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda deve ser igual ao limite quando se aproxima de 1 pela direita e também igual ao valor da função em .
Limite pela esquerda ():
Limite pela direita ():
Para continuidade, esses limites devem ser iguais:
Além disso, o valor da função em é .
Portanto, para ser contínua em , precisamos que:
Passo 4
Agora, vamos verificar a continuidade em limx to 2^- a cdot x + b = a cdot 2 + b = 2a + b .
Novamente, a continuidade em limx to 2^+ |x^2 - 7x + 12| exige que o limite quando 2^2 - 7 cdot 2 + 12 = 4 - 14 + 12 = 2 se aproxima de 2 pela esquerda seja igual ao limite quando 2a + b = 2 se aproxima de 2 pela direita e igual ao valor da função em a + b = -1 2a + b = 2 .
Limite pela esquerda ( (2a + b) - (a + b) = 2 - (-1) implies a = 3 ):
3 + b = -1 implies b = -4
Limite pela direita ():
Primeiro, calculamos em :
Então, o limite é .
Igualando os limites:
Temos agora um sistema de duas equações:
Subtraindo a primeira da segunda:
Substituindo na primeira equação:
Portanto, os valores são e para que seja contínua em e .
Passo 5
Agora, vamos verificar a continuidade da função em .
Para e , as funções são contínuas porque:
é contínua em seu domínio ().
é um polinômio e, portanto, contínuo em .
é contínuo para já que é uma função composta contínua.
Como verificamos que a função é contínua em e com e , concluímos que é contínua em todos os pontos de .
Passo 6
Finalmente, sobre descontinuidades:
Como é contínua em todos os pontos de quando e , não existem descontinuidades na função nesse caso.
E como não há descontinuidades, não há descontinuidades removíveis.
Resposta
O domínio de é todos os números reais . Existem valores reais e que tornam contínua em e ao igualar os limites laterais. A função é contínua em todo , não apresentando descontinuidades ou descontinuidades removíveis. O gráfico de é contínuo em toda a reta real.