Seja f(x) = { x², se x < 1; 2x, se x ≥ 1 }. A função f é contínua em R ? Caso negativo, quais são os pontos de descontinuidade? Essas descontinuidades são removíveis?

Passo 1

Vamos analisar a função definida por partes:
Queremos descobrir se essa função é contínua em todos os números reais, ou seja, em . Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e verificar onde a função pode não ser contínua, especialmente nos pontos onde a definição da função muda de uma expressão para outra.

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Como a função tem duas expressões diferentes conforme ou , o único ponto que precisamos verificar é , pois é onde a definição da função muda.

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ):
Isso significa que, à medida que chega perto de 1 vindo de valores menores que 1, se aproxima de 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Ou seja, quando se aproxima de 1 vindo de valores maiores ou iguais a 1, se aproxima de 2.

Passo 5

Vamos também verificar o valor da função no ponto :
Isso nos mostra que, exatamente em , o valor da função é 2.

Passo 6

Agora, vamos comparar os três valores que obtivemos:
Como o limite pela esquerda ( ) é diferente do limite pela direita ( ), a função tem uma descontinuidade em .

Resposta

A função não é contínua em todo . Ela apresenta uma descontinuidade no ponto , e essa descontinuidade não é removível.

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