Seja
. A função
é contínua em
? Caso negativo, quais são os pontos de descontinuidade? Essas descontinuidades são removíveis?
Passo 1
Vamos analisar a função definida por partes:
Queremos descobrir se essa função é contínua em todos os números reais, ou seja, em
. Para isso, vamos precisar entender o que significa continuidade e verificar onde a função pode não ser contínua, especialmente nos pontos onde a definição da função muda de uma expressão para outra.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma função é contínua em um ponto se o limite quando
se aproxima desse ponto pela esquerda é igual ao limite pela direita, e ambos são iguais ao valor da função nesse ponto.
Como a função
tem duas expressões diferentes conforme
ou
, o único ponto que precisamos verificar é
, pois é onde a definição da função muda.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
):
Isso significa que, à medida que
chega perto de 1 vindo de valores menores que 1,
se aproxima de 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 1 pela direita (
):
Ou seja, quando
se aproxima de 1 vindo de valores maiores ou iguais a 1,
se aproxima de 2.
Passo 5
Vamos também verificar o valor da função no ponto
:
Isso nos mostra que, exatamente em
, o valor da função é 2.
Passo 6
Agora, vamos comparar os três valores que obtivemos:
Como o limite pela esquerda (
) é diferente do limite pela direita (
), a função
tem uma descontinuidade em
.
Resposta
A função
não é contínua em todo
. Ela apresenta uma descontinuidade no ponto
, e essa descontinuidade não é removível.