Seja a uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de f(t) = sen at é
F(s) = a / (s^2 + a^2), s > 0
e a de g(t) = t cos(t) at é
G(s) = (s^2 - a^2) / (s^2 + a^2)^2, s > 0
mostre que a transformada de Laplace de h(t) = sen(a t) - a t cos at é
H(s) = 2 a^3 / (s^2 + a^2)^2, s > 0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções com suas transformadas de Laplace conhecidas:
  1. com a transformada .
  2. com a transformada .
A tarefa é mostrar que a transformada de Laplace da função é .
Para resolver isso, vamos utilizar a linearidade da transformada de Laplace, que nos permite transformar combinações lineares de funções de forma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a linearidade da transformada de Laplace na função :
A linearidade nos permite separar isso em:

Passo 3

Sabemos das informações fornecidas que:
e
Substituindo essas na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, vamos colocar os termos sobre o mesmo denominador:

Passo 5

Distribuindo o no numerador:
Perceba que e se cancelam:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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