Seja
uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de
at é
e a de
at é
mostre que a transformada de Laplace de
at é
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções com suas transformadas de Laplace conhecidas:
- com a transformada
. -
com a transformada .
A tarefa é mostrar que a transformada de Laplace da função é
.
Para resolver isso, vamos utilizar a linearidade da transformada de Laplace, que nos permite transformar combinações lineares de funções de forma direta.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a linearidade da transformada de Laplace na função
:
A linearidade nos permite separar isso em:
Passo 3
Sabemos das informações fornecidas que:
e
Substituindo essas na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, vamos colocar os termos sobre o mesmo denominador:
Passo 5
Distribuindo o
no numerador:
Perceba que
e
se cancelam:
Resposta
Portanto, a transformada de Laplace de é: