Seja uma constante. Sabendo-se que a transformada de Laplace de at é
e a de at é
mostre que a transformada de Laplace de at é

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos duas funções com suas transformadas de Laplace conhecidas:
  1. com a transformada .
  2. com a transformada .
A tarefa é mostrar que a transformada de Laplace da função é .
Para resolver isso, vamos utilizar a linearidade da transformada de Laplace, que nos permite transformar combinações lineares de funções de forma direta.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a linearidade da transformada de Laplace na função :
A linearidade nos permite separar isso em:

Passo 3

Sabemos das informações fornecidas que:
e
Substituindo essas na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão. Para isso, vamos colocar os termos sobre o mesmo denominador:

Passo 5

Distribuindo o no numerador:
Perceba que e se cancelam:

Resposta

Portanto, a transformada de Laplace de é:

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Resolva o problema de valor inicial
para uma função arbitrária.
Use o método dos coeficientes indeterminados para encontrar uma solução particular para as equações diferenciais abaixo:
(Função Gama) A função gama é definida pela integral imprópria
(a) Mostre que , pawa .
(b) Mostre que !, pa
© Seja . Mostre que , para .
(d) Usando o fato de que , mostre que .
Resolva o problema de valor inicial
usando a transformada de Laplace.