A função horária de uma partícula em movimento retilíneo é dada pela seguinte expressão: x=t^5- 5 t^3+10 t, em unidades do sistema internacional -SI . Calcule, para o intervalo de tempo de 1,00 s a 2,00s (a) a velocidade média e (b) a aceleração média. Calcule, para os instantes 1,00 s e 2,00 s © a velocidade e a aceleração. (d) Em que instantes a partícula inverte o sentido de seu movimento? (e) Em que instantes a aceleração da partícula é nula?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de movimento retilíneo! A gente tem a função que descreve a posição da partícula ao longo do tempo: . O conteúdo aqui envolve cinemática, que estuda o movimento das partículas sem se preocupar com as causas desse movimento. Para resolver as questões, vamos precisar entender como calcular a velocidade média, aceleração média, derivadas para encontrar velocidade e aceleração instantâneas, e também analisar quando a partícula muda de direção e quando a aceleração é zero.

Passo 2

(a) Calculando a velocidade média entre 1,00 s e 2,00 s
Velocidade média é a variação da posição dividida pelo intervalo de tempo. A fórmula é:
vmédia = x(t2) - x(t1)t2 - t1 é
Vamos calcular x(1) = (1)^5 - 5(1)^3 + 10(1) = 1 - 5 + 10 = 6 , m e x(2) = (2)^5 - 5(2)^3 + 10(2) = 32 - 40 + 20 = 12 , m :
vmédia = 12 - 62 - 1 = 61 = 6 , m/s
Agora, aplicando na fórmula da velocidade média:
é

Passo 3

(b) Calculando a aceleração média entre 1,00 s e 2,00 s
A aceleração média é a variação da velocidade dividida pelo intervalo de tempo. Mas primeiro, precisamos encontrar as velocidades nos instantes 1 s e 2 s.
Como ainda não temos as velocidades instantâneas, vamos pular para a próxima parte e voltar aqui depois.

Passo 4

© Calculando a velocidade e a aceleração nos instantes 1,00 s e 2,00 s
Para encontrar a velocidade instantânea, vamos derivar a posição em relação ao tempo:
v(t) = dxdt = 5t^4 - 15t^2 + 10
E para a aceleração instantânea, derivamos a velocidade:
a(t) = dvdt = 20t^3 - 30t
Agora, calculamos em v(1) = 5(1)^4 - 15(1)^2 + 10 = 5 - 15 + 10 = 0 , m/s s e a(1) = 20(1)^3 - 30(1) = 20 - 30 = -10 , m/s^2 s:
Para v(2) = 5(2)^4 - 15(2)^2 + 10 = 5(16) - 15(4) + 10 = 80 - 60 + 10 = 30 , m/s :
a(2) = 20(2)^3 - 30(2) = 20(8) - 60 = 160 - 60 = 100 , m/s^2
Para :

Passo 5

(b) Retornando à aceleração média
Agora que temos as velocidades em vmédia = v(2) - v(1)2 - 1 = 30 - 01 = 30 , m/s^2 s e s:
é

Passo 6

(d) Determinando os instantes em que a partícula inverte o sentido de movimento
A partícula inverte o sentido quando a velocidade muda de sinal, ou seja, quando 5t^4 - 15t^2 + 10 = 0 . Vamos resolver a equação:
t^4 - 3t^2 + 2 = 0
Podemos simplificar dividindo tudo por 5:
u^2 - 3u + 2 = 0
Substituindo u = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12 Rightarrow u = 2 ou u = 1 :
t^2 = 2 Rightarrow t = raiz2 approx 1,414 , s
Resolvendo a equação quadrática:
t^2 = 1 Rightarrow t = 1 , s
Voltando para :
Mas como em s a velocidade é zero e a aceleração não é zero, a partícula inverte o sentido em s.

Passo 7

(e) Determinando os instantes em que a aceleração da partícula é nula
Queremos 20t^3 - 30t = 0 :
10t(2t^2 - 3) = 0
Fatorando:
2t^2 = 3 Rightarrow t^2 = 32 Rightarrow t = raiz32 approx 1,225 , s
Então, s ou :

Resposta

(a) A velocidade média entre 1,00 s e 2,00 s é de .
(b) A aceleração média entre 1,00 s e 2,00 s é de .
©
  • Em s: velocidade e aceleração .
  • Em s: velocidade e aceleração .
(d) A partícula inverte o sentido do movimento em aproximadamente s.
(e) A aceleração da partícula é nula em s e em aproximadamente s.

Exercícios relacionados