Você dirige de Fortaleza para Natal metade do tempo a
e a outra metade a
. Na volta, você viaja metade da distância a
e a outra metade a
. Qual é a velocidade escalar média (a) na ida, (b) na volta, © na viagem inteira. (d) Faça o gráfico de
em função de
para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de
. Mostre de que forma a velocidade média pode ser obtida através do gráfico.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: você faz uma viagem de ida de Fortaleza para Natal metade do tempo a
e a outra metade a
. Na volta, você percorre metade da distância a
e a outra metade a
. Precisamos encontrar a velocidade escalar média:
(a) na ida,
(b) na volta,
© na viagem inteira,
(d) o gráfico de
em função de
para o item (a) e como obter a velocidade média a partir dele.
Vamos usar conceitos de velocidade média, que é a distância total dividida pelo tempo total. Precisamos lembrar como calcular a média de diferentes velocidades, tanto em função do tempo quanto em função da distância.
Passo 2
Item (a): Velocidade escalar média na ida
Primeiro, vamos focar na viagem de ida. Metade do tempo é gasto a
e a outra metade a
.
Vamos chamar o tempo total de ida de
(onde
é a metade do tempo). Assim, você passa
horas a
e
horas a
.
A distância percorrida em cada trecho é:
-
Distância no primeiro trecho:
-
Distância no segundo trecho:
A distância total na ida é
.
O tempo total é
horas.
A velocidade média é a distância total dividida pelo tempo total:
Passo 3
Item (b): Velocidade escalar média na volta
Agora, vamos considerar a volta. Metade da distância é percorrida a
e a outra metade a
.
Vamos chamar a distância total da volta de
(onde
é metade da distância). Assim, você percorre
km a
e
km a
.
O tempo gasto em cada trecho é:
-
Tempo no primeiro trecho:
-
Tempo no segundo trecho:
O tempo total na volta é:
Para somar as frações:
Então:
A distância total na volta é
km.
A velocidade média na volta é:
Passo 4
Item ©: Velocidade escalar média na viagem inteira
Para encontrar a velocidade média na viagem inteira (ida e volta), precisamos somar as distâncias e os tempos de ambas as partes.
Vamos chamar a distância de Fortaleza a Natal de
. Assim, a distância total da viagem inteira é
.
Da ida:
-
Distância:
-
Tempo:
(pois )
Da volta:
-
Distância:
-
Tempo:
(pois )
Tempo total da viagem inteira:
Para somar as frações:
A distância total é
km.
A velocidade média na viagem inteira é:
Passo 5
Item (d): Gráfico de
em função de
para o item (a) e obtenção da velocidade média
Para o item (a), onde a velocidade média na ida é
, vamos desenhar um gráfico de posição (
) em função do tempo (
).
-
Primeira parte do trajeto (
): - Metade do tempo total, digamos
. - A posição aumenta linearmente com a inclinação correspondente a
.
- Metade do tempo total, digamos
-
Segunda parte do trajeto (
): - Outra metade do tempo,
. - A posição continua aumentando linearmente, mas com uma inclinação maior correspondente a
.
- Outra metade do tempo,
O gráfico será uma linha com duas partes: a primeira com inclinação menor e a segunda com inclinação maior.
Como obter a velocidade média a partir do gráfico:
A velocidade média pode ser obtida pela inclinação da reta que une o início e o final do gráfico de
em função de
. Ou seja, desenhando uma linha reta do ponto
até o ponto final
no gráfico, a inclinação dessa linha será:
Isso confirma que a velocidade média é
.
Resposta
(a) A velocidade escalar média na ida é
.
(b) A velocidade escalar média na volta é
.
© A velocidade escalar média na viagem inteira é aproximadamente
.
(d) No gráfico de
em função de
para a ida, a curva apresenta duas retas com inclinações diferentes, representando os trechos a
e
. A velocidade média pode ser obtida pela inclinação da linha que conecta o ponto inicial ao ponto final do gráfico, que corresponde a
.