Você dirige de Fortaleza para Natal metade do tempo a 60,0 Km / h e a outra metade a 100 Km / h. Na volta, você viaja metade da distância a 60,0 Km / h e a outra metade a 100 Km / h. Qual é a velocidade escalar média (a) na ida, (b) na volta, © na viagem inteira. (d) Faça o gráfico de x em função de t para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de x. Mostre de que forma a velocidade média pode ser obtida através do gráfico.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: você faz uma viagem de ida de Fortaleza para Natal metade do tempo a 60,0 , Km/h e a outra metade a 100,0 , Km/h. Na volta, você percorre metade da distância a 60,0 , Km/h e a outra metade a 100,0 , Km/h. Precisamos encontrar a velocidade escalar média:
(a) na ida,
(b) na volta,
© na viagem inteira,
(d) o gráfico de x em função de t para o item (a) e como obter a velocidade média a partir dele.
Vamos usar conceitos de velocidade média, que é a distância total dividida pelo tempo total. Precisamos lembrar como calcular a média de diferentes velocidades, tanto em função do tempo quanto em função da distância.

Passo 2

Item (a): Velocidade escalar média na ida
Primeiro, vamos focar na viagem de ida. Metade do tempo é gasto a 60,0 , Km/h e a outra metade a 100,0 , Km/h.
Vamos chamar o tempo total de ida de 2t (onde t é a metade do tempo). Assim, você passa t horas a 60,0 , Km/h e t horas a 100,0 , Km/h.
A distância percorrida em cada trecho é:
  • Distância no primeiro trecho: d1 = 60,0 , Km/h times t = 60t , Km
  • Distância no segundo trecho: d2 = 100,0 , Km/h times t = 100t , Km
A distância total na ida é dida = d1 + d2 = 60t + 100t = 160t , Km.
O tempo total é 2t horas.
A velocidade média é a distância total dividida pelo tempo total:
vmédia, ida = didatempo total = 160t2t = 1602 = 80,0 , Km/h é

Passo 3

Item (b): Velocidade escalar média na volta
Agora, vamos considerar a volta. Metade da distância é percorrida a 60,0 , Km/h e a outra metade a 100,0 , Km/h.
Vamos chamar a distância total da volta de 2d (onde d é metade da distância). Assim, você percorre d km a 60,0 , Km/h e d km a 100,0 , Km/h.
O tempo gasto em cada trecho é:
  • Tempo no primeiro trecho: t1 = d60,0 , h
  • Tempo no segundo trecho: t2 = d100,0 , h
O tempo total na volta é:
tvo
Para somar as frações:
160 + 1100 = 5300 + 3300 = 8300 = 275
Então:
tvo
A distância total na volta é 2d km.
A velocidade média na volta é:
vmédia, voéâ

Passo 4

Item ©: Velocidade escalar média na viagem inteira
Para encontrar a velocidade média na viagem inteira (ida e volta), precisamos somar as distâncias e os tempos de ambas as partes.
Vamos chamar a distância de Fortaleza a Natal de D. Assim, a distância total da viagem inteira é 2D.
Da ida:
  • Distância: D
  • Tempo: D80 (pois vmédia, ida = 80 , Km/hé)
Da volta:
  • Distância: D
  • Tempo: D75 (pois vmédia, voé)
Tempo total da viagem inteira:
ttotal = D80 + D75
Para somar as frações:
D80 + D75 = D ( 180 + 175 ) = D ( 15 + 161200 ) = D ( 311200 ) = 31D1200
A distância total é 2D km.
A velocidade média na viagem inteira é:
vmédia, total = 2D31D1200 = 2 times 120031 = 240031 approx 77,42 , Km/h é

Passo 5

Item (d): Gráfico de x em função de t para o item (a) e obtenção da velocidade média
Para o item (a), onde a velocidade média na ida é 80,0 , Km/h, vamos desenhar um gráfico de posição ( x) em função do tempo ( t).
  1. Primeira parte do trajeto ( 60,0 , Km/h):
    • Metade do tempo total, digamos t1.
    • A posição aumenta linearmente com a inclinação correspondente a 60,0 , Km/h.
  2. Segunda parte do trajeto ( 100,0 , Km/h):
    • Outra metade do tempo, t2 = t1.
    • A posição continua aumentando linearmente, mas com uma inclinação maior correspondente a 100,0 , Km/h.
O gráfico será uma linha com duas partes: a primeira com inclinação menor e a segunda com inclinação maior.
Como obter a velocidade média a partir do gráfico:
A velocidade média pode ser obtida pela inclinação da reta que une o início e o final do gráfico de x em função de t. Ou seja, desenhando uma linha reta do ponto (0,0) até o ponto final (2t, 160t) no gráfico, a inclinação dessa linha será:
vmédia = Deé
Isso confirma que a velocidade média é 80,0 , Km/h.

Resposta

(a) A velocidade escalar média na ida é 80,0 , Km/h.
(b) A velocidade escalar média na volta é 75,0 , Km/h.
© A velocidade escalar média na viagem inteira é aproximadamente 77,42 , Km/h.
(d) No gráfico de x em função de t para a ida, a curva apresenta duas retas com inclinações diferentes, representando os trechos a 60,0 , Km/h e 100,0 , Km/h. A velocidade média pode ser obtida pela inclinação da linha que conecta o ponto inicial ao ponto final do gráfico, que corresponde a 80,0 , Km/h.

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