Você dirige de Fortaleza para Natal metade do tempo a e a outra metade a . Na volta, você viaja metade da distância a e a outra metade a . Qual é a velocidade escalar média (a) na ida, (b) na volta, © na viagem inteira. (d) Faça o gráfico de em função de para o item (a), supondo que o movimento ocorre no sentido positivo de . Mostre de que forma a velocidade média pode ser obtida através do gráfico.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: você faz uma viagem de ida de Fortaleza para Natal metade do tempo a e a outra metade a . Na volta, você percorre metade da distância a e a outra metade a . Precisamos encontrar a velocidade escalar média:
(a) na ida,
(b) na volta,
© na viagem inteira,
(d) o gráfico de em função de para o item (a) e como obter a velocidade média a partir dele.
Vamos usar conceitos de velocidade média, que é a distância total dividida pelo tempo total. Precisamos lembrar como calcular a média de diferentes velocidades, tanto em função do tempo quanto em função da distância.

Passo 2

Item (a): Velocidade escalar média na ida
Primeiro, vamos focar na viagem de ida. Metade do tempo é gasto a e a outra metade a .
Vamos chamar o tempo total de ida de (onde é a metade do tempo). Assim, você passa horas a e horas a .
A distância percorrida em cada trecho é:
  • Distância no primeiro trecho:
  • Distância no segundo trecho:
A distância total na ida é .
O tempo total é horas.
A velocidade média é a distância total dividida pelo tempo total:
é

Passo 3

Item (b): Velocidade escalar média na volta
Agora, vamos considerar a volta. Metade da distância é percorrida a e a outra metade a .
Vamos chamar a distância total da volta de (onde é metade da distância). Assim, você percorre km a e km a .
O tempo gasto em cada trecho é:
  • Tempo no primeiro trecho:
  • Tempo no segundo trecho:
O tempo total na volta é:
Para somar as frações:
Então:
A distância total na volta é km.
A velocidade média na volta é:
éâ

Passo 4

Item ©: Velocidade escalar média na viagem inteira
Para encontrar a velocidade média na viagem inteira (ida e volta), precisamos somar as distâncias e os tempos de ambas as partes.
Vamos chamar a distância de Fortaleza a Natal de . Assim, a distância total da viagem inteira é .
Da ida:
  • Distância:
  • Tempo: (pois é)
Da volta:
  • Distância:
  • Tempo: (pois é)
Tempo total da viagem inteira:
Para somar as frações:
A distância total é km.
A velocidade média na viagem inteira é:
é

Passo 5

Item (d): Gráfico de em função de para o item (a) e obtenção da velocidade média
Para o item (a), onde a velocidade média na ida é , vamos desenhar um gráfico de posição ( ) em função do tempo ( ).
  1. Primeira parte do trajeto ( ):
    • Metade do tempo total, digamos .
    • A posição aumenta linearmente com a inclinação correspondente a .
  2. Segunda parte do trajeto ( ):
    • Outra metade do tempo, .
    • A posição continua aumentando linearmente, mas com uma inclinação maior correspondente a .
O gráfico será uma linha com duas partes: a primeira com inclinação menor e a segunda com inclinação maior.
Como obter a velocidade média a partir do gráfico:
A velocidade média pode ser obtida pela inclinação da reta que une o início e o final do gráfico de em função de . Ou seja, desenhando uma linha reta do ponto até o ponto final no gráfico, a inclinação dessa linha será:
é
Isso confirma que a velocidade média é .

Resposta

(a) A velocidade escalar média na ida é .
(b) A velocidade escalar média na volta é .
© A velocidade escalar média na viagem inteira é aproximadamente .
(d) No gráfico de em função de para a ida, a curva apresenta duas retas com inclinações diferentes, representando os trechos a e . A velocidade média pode ser obtida pela inclinação da linha que conecta o ponto inicial ao ponto final do gráfico, que corresponde a .

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