A função horária da posição de um ponto material, dada em unidades do Sistema Internacional, que se move com aceleração constante é S=15+10 t+2 t^2.
a. Qual sua velocidade inicial, posição inicial e aceleração?
b. Qual a posição do ponto material no instante 5 s ?
c. Qual o instante em que o móvel passa pela posição 115 metros?

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função que descreve a posição de um ponto material ao longo do tempo: , onde está em metros e em segundos. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cinemática, especificamente o movimento com aceleração constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar a função de posição para encontrar a velocidade e a aceleração, além de saber como substituir valores na função para encontrar posições específicas e resolver equações para descobrir valores de .

Passo 2

Vamos começar respondendo a parte a: Encontrar a velocidade inicial, a posição inicial e a aceleração.
Primeiro, a posição inicial é simplesmente o valor de S(0) = 15 + 10(0) + 2(0)^2 = 15 metros quando V(t) = dSdt = 10 + 4t . Substituindo na equação:
V(0) = 10 + 4(0) = 10 m/s
Então, a posição inicial é 15 metros.
Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a função de posição em relação ao tempo. A derivada de A(t) = dVdt = 4 m/s^2 em relação a nos dá a velocidade :
A velocidade inicial é a velocidade no instante :
Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Portanto, a aceleração é 4 m/s².

Passo 3

Agora, vamos para a parte b: Qual a posição do ponto material no instante 5 segundos?
Para isso, basta substituir S(5) = 15 + 10(5) + 2(5)^2 na função de posição:
10(5) = 50
Vamos calcular passo a passo:
2(5)^2 = 2(25) = 50
S(5) = 15 + 50 + 50 = 115 metros
Então, a posição no instante de 5 segundos é 115 metros.

Passo 4

Por fim, vamos resolver a parte c: Em que instante o móvel passa pela posição de 115 metros?
Sabemos que 115 = 15 + 10t + 2t^2 metros. Vamos igualar isso à função de posição e resolver para 2t^2 + 10t + 15 - 115 = 0 :
2t^2 + 10t - 100 = 0
Primeiro, vamos reorganizar a equação:
t^2 + 5t - 50 = 0
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
t = -5 pm raiz25 + 2002 = -5 pm raiz2252 = -5 pm 152
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
t = -5 + 152 = 5 segundos
Onde:
  • t = -5 - 152 = -10 segundos
Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos e temos que o móvel passa por 115 metros no instante de 5 segundos.

Resposta

a. Velocidade inicial: 10 m/s; posição inicial: 15 metros; aceleração: 4 m/s².
b. A posição do ponto material no instante de 5 segundos é 115 metros.
c. O móvel passa pela posição de 115 metros no instante de 5 segundos.

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