A função horária da posição de um ponto material, dada em unidades do Sistema Internacional, que se move com aceleração constante é
.
a. Qual sua velocidade inicial, posição inicial e aceleração?
b. Qual a posição do ponto material no instante 5 s ?
c. Qual o instante em que o móvel passa pela posição 115 metros?
a. Qual sua velocidade inicial, posição inicial e aceleração?
b. Qual a posição do ponto material no instante 5 s ?
c. Qual o instante em que o móvel passa pela posição 115 metros?
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem a função que descreve a posição de um ponto material ao longo do tempo:
, onde
está em metros e
em segundos. A matéria que estamos trabalhando aqui é Cinemática, especificamente o movimento com aceleração constante. Para resolver isso, vamos precisar entender como derivar a função de posição para encontrar a velocidade e a aceleração, além de saber como substituir valores na função para encontrar posições específicas e resolver equações para descobrir valores de
.
Passo 2
Vamos começar respondendo a parte a: Encontrar a velocidade inicial, a posição inicial e a aceleração.
Primeiro, a posição inicial é simplesmente o valor de
quando
. Substituindo na equação:
Então, a posição inicial é 15 metros.
Para encontrar a velocidade, precisamos derivar a função de posição em relação ao tempo. A derivada de
em relação a
nos dá a velocidade
:
A velocidade inicial é a velocidade no instante
:
Agora, a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou a segunda derivada da posição:
Portanto, a aceleração é 4 m/s².
Passo 3
Agora, vamos para a parte b: Qual a posição do ponto material no instante 5 segundos?
Para isso, basta substituir
na função de posição:
Vamos calcular passo a passo:
Então, a posição no instante de 5 segundos é 115 metros.
Passo 4
Por fim, vamos resolver a parte c: Em que instante o móvel passa pela posição de 115 metros?
Sabemos que
metros. Vamos igualar isso à função de posição e resolver para
:
Primeiro, vamos reorganizar a equação:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
Agora, usamos a fórmula de Bhaskara para resolver essa equação quadrática:
Onde:
Substituindo:
Isso nos dá duas soluções:
Como o tempo não pode ser negativo, descartamos
e temos que o móvel passa por 115 metros no instante de 5 segundos.
Resposta
a. Velocidade inicial: 10 m/s; posição inicial: 15 metros; aceleração: 4 m/s².
b. A posição do ponto material no instante de 5 segundos é 115 metros.
c. O móvel passa pela posição de 115 metros no instante de 5 segundos.
Exercícios relacionados
Um motorista dirige seu carro a uma velocidade de
quando avista a placa de pare. Ao acionar os freios, ocorre uma desaceleração constante, e o carro leva um tempo de 3 s até parar completamente. Qual a desaceleração do carro?
Determine o tempo para que a aceleração média de um ônibus que se locomove a uma velocidade de
seja de
.
Determine a altura que um objeto foi abandonado sabendo que esse teve 20 segundos de queda. Dado:
.
Um objeto é lançado verticalmente para cima com velocidade de
. Se a gravidade no local é de
, calcule:
a. A altura máxima atingida;
b. 0 tempo para atingir a altura máxima;
c. 0 tempo que o objeto se encontra a 40 m de altura.
a. A altura máxima atingida;
b. 0 tempo para atingir a altura máxima;
c. 0 tempo que o objeto se encontra a 40 m de altura.