Trace na mesma tela as primeiras somas parciais sn(x) da série sumx=0^* x^n, com a função-soma f(x)=1 /(1-x). Em que intervalo essas somas parciais parecem estar convergindo para f(x) ?

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos traçar as primeiras somas parciais da série e comparar com a função-soma . Isso envolve conceitos de séries geométricas e a análise de convergência das séries.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que são as somas parciais dessa série. As somas parciais sn(x) = sumk=0^n x^k são a soma dos primeiros termos da série. Ou seja,

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma parcial sn(x) = 1 - x^n+11 - x para x neq 1 . Para uma série geométrica, a soma dos primeiros termos é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a encontrar a soma dos termos da série até o -ésimo termo.

Passo 4

Queremos saber para quais valores de limn to infty sn(x) = limn to infty 1 - x^n+11 - x essas somas parciais |x| < 1 estão se aproximando da função-soma . Para isso, analisamos o limite de quando tende ao infinito:
Para que esse limite exista e seja finito, o termo deve tender a zero. Isso acontece quando o valor absoluto de é menor que 1:

Passo 5

Concluímos que as somas parciais da série convergem para a função quando . Ou seja, dentro desse intervalo, as somas parciais estão se aproximando da função-soma.

Resposta

As somas parciais da série convergem para a função no intervalo .

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