Trace na mesma tela as primeiras somas parciais
da série
, com a função-soma
. Em que intervalo essas somas parciais parecem estar convergindo para
?
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos traçar as primeiras somas parciais
da série
e comparar com a função-soma
. Isso envolve conceitos de séries geométricas e a análise de convergência das séries.
Passo 2
Primeiro, vamos definir o que são as somas parciais dessa série. As somas parciais
são a soma dos primeiros
termos da série. Ou seja,
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma parcial
. Para uma série geométrica, a soma dos primeiros
termos é dada por:
Essa fórmula nos ajuda a encontrar a soma dos termos da série até o
-ésimo termo.
Passo 4
Queremos saber para quais valores de
essas somas parciais
estão se aproximando da função-soma
. Para isso, analisamos o limite de
quando
tende ao infinito:
Para que esse limite exista e seja finito, o termo
deve tender a zero. Isso acontece quando o valor absoluto de
é menor que 1:
Passo 5
Concluímos que as somas parciais
da série
convergem para a função
quando
. Ou seja, dentro desse intervalo, as somas parciais estão se aproximando da função-soma.
Resposta
As somas parciais
da série
convergem para a função
no intervalo
.