A função maior inteiro é definida por [[x]], que por definição, é o maior número inteiro n tal que n <= x. Por exemplo, [[4,8]]=4. Calcule, se existir:
lim x 3[[x]]

Passo 1

Vamos resolver o limite . Aqui, estamos lidando com a função maior inteiro , que retorna o maior número inteiro menor ou igual a . Para resolver esse limite, vamos usar conceitos de funções descontínuas e limites laterais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que representa. A função pega qualquer número real e retorna o maior inteiro que não é maior que . Por exemplo, porque 4 é o maior inteiro menor ou igual a 4,8.

Passo 3

Para calcular o limite , precisamos considerar o que acontece com quando se aproxima de 3 por valores menores que 3 e por valores maiores que 3.

Passo 4

Limite pela esquerda ( limx 3^- [[x]] = 2 ):
Quando se aproxima de 3 vindo da esquerda (valores menores que 3, como 2,9; 2,99; 2,999; etc.), será 2, pois 2 é o maior inteiro menor que esses valores.

Passo 5

Limite pela direita ( limx 3^+ [[x]] = 3 ):
Quando se aproxima de 3 vindo da direita (valores maiores que 3, como 3,1; 3,01; 3,001; etc.), será 3, pois 3 é o maior inteiro menor que esses valores.

Passo 6

Para que o limite limx 3^- [[x]] = 2 e limx 3^+ [[x]] = 3 exista, os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais. Neste caso, temos:
Como 2 não é igual a 3, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe.

Exercícios relacionados

Seja
f(x)= x^2+1, & se x<1 (x-2)^2, & se x >= 1
lim x 1 f(x) Existe? Justifique.
Considere a função
f(x)= 2 x-1, & se x<1 6, & se x=1 x^2, & se x>1
Verifique a existência de lim x 1 f(x).
A função maior inteiro é definida por [[x]], que por definição, é o maior número inteiro n tal que n <= x. Por exemplo, [[4,8]]=4. Calcule, se existir:
lim x 3^-[[x]]
A função maior inteiro é definida por [[x]], que por definição, é o maior número inteiro n tal que n <= x. Por exemplo, [[4,8]]=4. Calcule, se existir:
lim x -2[[x]]