Seja
f(x)= x^2+1, & se x<1 (x-2)^2, & se x >= 1
lim x 1 f(x) Existe? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes, dependendo de . Aqui, a gente precisa descobrir se o limite de quando se aproxima de 1 existe. Para isso, vamos usar conceitos de limites laterais, que são os limites quando vem pela esquerda e pela direita de 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o limite quando limx to 1^- f(x) = limx to 1^- (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, está chegando em 1 vindo de valores menores que 1. Nesse caso, usamos a primeira parte da função: .
Então, calculamos:

Passo 3

Agora, vamos ver o que acontece quando limx to 1^+ f(x) = limx to 1^+ (x - 2)^2 = (1 - 2)^2 = (-1)^2 = 1 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, vindo de valores maiores ou iguais a 1. Aqui, usamos a segunda parte da função: .
Calculando esse limite:

Passo 4

Para o limite geral existir em , os limites pela esquerda e pela direita precisam ser iguais. No nosso caso, vimos que:
  • Limite pela esquerda: 2
  • Limite pela direita: 1
Como 2 é diferente de 1, os limites laterais não coincidem.

Resposta

O limite não existe porque os limites pela esquerda e pela direita são diferentes.

Exercícios relacionados

Considere a função
f(x)= 2 x-1, & se x<1 6, & se x=1 x^2, & se x>1
Verifique a existência de lim x 1 f(x).
Calcule o limite, se existir. Caso não exista, justifique sua resposta. lim x 6 2 x+12|x+6|
A função maior inteiro é definida por [[x]], que por definição, é o maior número inteiro n tal que n <= x. Por exemplo, [[4,8]]=4. Calcule, se existir:
lim x 3[[x]]
A função maior inteiro é definida por [[x]], que por definição, é o maior número inteiro n tal que n <= x. Por exemplo, [[4,8]]=4. Calcule, se existir:
lim x 3^-[[x]]