(3)A função maior inteiro é definida por
maior inteiro que é menor que ou igual a
. Por exemplo,
.
(b) Onde a função maior inteiro não é diferenciável?
(b) Onde a função maior inteiro não é diferenciável?
Passo 1
Vamos entender qual é o problema aqui. A questão fala sobre a função maior inteiro, também conhecida como função piso, que pega um número real e retorna o maior número inteiro que é menor ou igual a ele. Por exemplo,
. A pergunta é: Onde essa função não é diferenciável?
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem uma derivada nesse ponto, ou seja, se sua taxa de variação é bem definida ali. Se a função apresenta algum tipo de “quebra” ou “canto” no gráfico, provavelmente ela não é diferenciável nesse ponto.
Passo 3
A função maior inteiro é uma função por partes. Isso significa que ela é constante em cada intervalo entre dois números inteiros consecutivos. Por exemplo, no intervalo de 4 a 5, a função é sempre igual a 4, ou seja,
para todo
em [4,5).
Passo 4
Agora, o que acontece nos pontos inteiros, como x = 4, 5, 6, etc.? Nesses pontos, a função faz um “salto” de um valor inteiro para o próximo. Por exemplo, ao passar de
para
, a função salta de 4 para 5.
Passo 5
Esses saltos criam descontinuidades na função. Por causa dessa mudança abrupta, a função não tem uma taxa de variação bem definida nesses pontos. Ou seja, não conseguimos traçar uma linha tangente que faça sentido ali.
Resposta
A função maior inteiro não é diferenciável nos números inteiros.